• eski yunandan beri kafaları karıştıran bir sorudur "matematiksel kavramların platonik bir gerçekliği var mıdır?" sorusu. 1905 üçlemesiyle einstein kant'ın mutlak uzay ve mutlak zaman kavramlarını gömdüğünden beri uzayın geometriksel modelleri üzerinde spekülasyon yapmaya veya yapılmasına alışır olduk. (bkz: string theory) (bkz: superstring theory) artık bırakın dört boyutu 10-20 boyutun varlığını savunabiliyoruz.

    burada ilginç bir şey ortaya çıkıyor. mesela genel görelilik teorisine `göre (doğruluğu kesinlikle yanlışlanamayan aksine doğrulanan bir teori olduğu düşünülürse, -her ne kadar graviton'dan halen haber olmasa da-) madde uzayı eğer. madde uzayı eğdiği zaman bizim için eskiden çok önemli olan ve 10 milyon basamağına kadar hesaplamaktan zevk aldığımız pi sayısı da eski önemini yitirecektir.

    yani bu şu demek. biz aslında hiç mükemmel bir çember görmedik. belki evrende mükemmel çember diye bir şey bile yok. matematiğin gerçek dünyanın bilgisinden süzülüp billurlaştığını kabul eden bir insan bile bu konuda platon'u anmadan edemiyor, açıklayacak şeylerin olduğunu düşünüyor.

    bu tartışma yeni değildir. eski yunan'ın pür zekası iki insan aynı şiiri yazmış mıdır? diye sormuştur. peki uzaktaki iki insan birbirinden habersiz nasıl aynı matematik teoremini bulmaktadır?

    işte matematiksel kavramların platonik gerçekliği denilen şey budur.
  • matematik anlatısının içeriği insan beyninin bir ürünü değildir.

    sanırım bu argümanın doğruluğunu test etmeye geçmeden önce matematik bilgisini ikiye ayırmakta fayda var. (bu ayrımın da insani türüne özgü kavrayıştan kaynaklandığı doğrudur.)

    birinci biçimi ile matematik, formal ve simgesel bir anlatım dilidir. bu dil, seçimlik gösterimleri kadar üzerine kurulu bulunduğu argümanlarında kapsandığı bir derinlikte insana özgüdür. yapısı ve kurgusu, insan zihninin çalışma ve kavrama biçimine uygunluk gösterecek biçimdedir. kavramlar ve olgular algılanış biçimleri ile yer etmiş; argümanlar, dış dünyanın öznel yorumlarına karşılık olacak şekilde kurulmuşlardır. özetle matematiğin birinci bileşeni onun formudur.

    matematik bilgisinin ikinci biçimi içeriğidir.
    matematik, argümanlarından, sistemlerinden ve gösteriminden bağımsız olarak bir şeyler anlatır. 1+2=3 gösterimi sadece bizim algımıza hitap etse de, bu gösterimde algımızdan bağımsız bir gerçeklik bulunur. evet, matematiğin üzerine kurulu bulunduğu kavramların bir çoğu dış dünyadan aşırma modellerdirler lakin bu modeller yine de gerçekten - ve algıdan - bağımsız bir anlatımı simgelerler. kimse bir'in iki'nin ya da üç'ün tek başına yeterli bir tanımını veremez ve kimse bunların insan algısından bağımsız olduğunu iddia edemez ama kanaatimce hiç kimse 1+2=3 bilgisinin sadece bir işlem, matematiksel bir gösterim ya da öznel bir algılayış biçimi olduğunu da söyleyemez.

    nasıl ki bir oluş dilde kendisine karşılık olan kelimelerden bağımsız var olabiliyorsa, matematik bilgisinin içeriği de aynı şekilde onu betimlemek için kullanılan dilden bağımsız olarak var olabilir. söz konusu işlem, aklın kainatı algılayışdan bir ayetin insan algısına tercümesidir sadece ve tüm tercümeleri ile birlikte bir tek ve aynı şeyi anlatır; 1+2=3.

    çok mu akılcı geldi? belki de öyledir. yine de bir başka örnek üzerinden bazı açıklamalar yapmak isterim. madem ağaçları seçtik ağaçlardan gidelim.

    gauss'a ithaf edilen, dünya'daki ağaç sayısı ağaçların yapraklarının sayısından fazla ise aynı sayıda yaprağa sahip en az iki ağaç bulunmalıdır bilgisini anımsayalım. bunun insan algısının bir ürünü olduğu iddia edilebilir mi? yargı, ağaçlardan, yapraklardan ve onları algılayışımızdan ayrık bir bilgi taşımaz mı gerçekte?. bu yargının bizim algılayışımızın yarı formal dilinde gösterimi, uzayın sadece bu bölgesinde mi anlamlıdır?

    hiç ağaç görmemiş olsak, ya da bir insanın değilde bir zürafanın veya fasulyenin gözlerinden görsek bile onları, bu bilginin doğruluğunu dolayısıyla da içeriğini reddedemeyiz. üstelik bunu, hiç bir zaman eşit sayıda yaprağı olan iki ayrı ağaç göremesek bile yapamayız.

    matematik kavramlarının platonik gerçekliği tam da budur bana göre: matematik, somut dünyadan soyut akla damlayan bilgilerin özleridir. gerçekte yokturlar ama asla da inkar edilemezler. kimse onları göremez ve ancak algılarımız ile sınırlı tercümelerini bilebiliriz. lakin aynı sebeple gerçekten uzakta olmanın koruması altındadırlar.

    newton ve leibniz'in sonsuz küçükler hesanını yakın zamanda bulmaları tepeden bakma bir anlayışla rastlantı, bilimsel işleyiş çerçevesinde sıradan bir olgudur. matematik bilgisi diferansiyelin sınırlarına kadar genişlemiş, pratik ihtiyaç bilgiye ulaşılmasına, ya da onun betimlenmesine, yol açmıştır. gerçekten de ikisinin de hemen hemen aynı zamanda yaptıkları sadece betimlemedir; diferansiyel hesabın bilgisini insan algısına tercüme etmektir.

    söz konusu kainat olduğunda pek de seyahat eden bir insan olduğumu iddia edemem. yine de evren'in hiç bir yerinde insanlarca 1+2=3 olarak anlatılmış bilginin yalanlanabileceğine inanmıyorum. kainatın hiç bir yerinde 1'in 2'nin ya da 3'ün karşılığı olabilecek bir oluş bulunmasa bile. hatta belki, tam da bu yüzden.
  • hakkında konuşabilmek için önce platonik gerçekliğin ne olduğunu temiz hale getirmenin mecburi olduğu konu.

    platonik gerçeklik nedir? sorusu "al işte şudur." denebilecek bir soru değil ki zaten platon da ne olduğunu bilmiyordu. parmenides diyaloğunu okursanız büyük parmenides karşısında nasıl ezilip büzülüp doğrudur efendim ama formlar dünyasının gerçekliği dışında hiçbir yol yok, bu tarz problemler ve hatta çelişkiler üstesinden gelinebilir ama şu an sizi müşteri temsilcisine bağlayabiliyorum dediğini görebilirsiniz.

    bu anlamda bambaşka bir ontolojidir formlar dünyası. içinde şeyler vardır, bunlar ulvi şeylerdir ve biz bu kusurlu dünyada o gerçek dünyadan pay alırız*. en tepede iyilik form'u vardır en gerçek ve en "ideal" olan odur. matematik de bu ne idüğü aslında pek belirli olmayan ama mantığın, daha doğrusu aklın doğru kullanımı sonucu bize ilan ettiği apaçık doğru ve mecburi bir dünyanın bir parçasıdır. rasyonalizmde genel kanı budur; "bak dünyada kusursuz bir çember var mı? yok. e o zaman bu çemberin kaynağı başka bir yerde olmalıdır." "bende sonsuzluk fikri var, dünyada sonsuzluk var mı? yok. e o zaman bunun kaynağı ayrıdır." ve konumuza dönersek "dünyada matematik var mı? var mı bir fonksiyon, bir operasyon bir sayı? yok. o zaman bu sayıların ayrı bir gerçekliği olmak zorunda ki bilgisine ulaşabilelim."

    bu noktada aksiyomatik sistemin ne olduğuna dair birkaç bilgi kırıntısı yeterli olacaktır. aksiyomatik bir sistem "laps" diye kurulabilir. birkaç aksiyomu ve domain'i belirledikten sonra bu sistem için geçerli operasyonlar, fonksiyonlar her zaman her yerde aynı olacaktır. klasik olarak öklid geometrisine baktığımızda evrensel ve uzak kaleksilerdeki her bir canlı için aynı olan "paralel iki doğru kesişmez." gibi bir önermenin evrensel olmasının tek sebebi belirli aksiyomatik temellerde kurulmasıdır. fakat (bkz: riemannian) ve (bkz: lobachevski) geometrilerinde bu tamamen farklıdır. örneğin lobaçevski geometrisinde düzlem bir pringles tanesi şeklinde kabul edilir. tam olarak pringles değil ama düşünebilmemiz için en uygun örnek pringles tanesi. böyle bir düzlemde bırakın paralel iki doğruyu hiçbir iki doğru birbiriyle kesişemez. gözünüzde canlandırmaya çalışmayın, burada anlatmak istediğim aksiyomlar değiştiğinde sistemler ve evrensel görünen uygulamaları, sonuçları tamamen değişebilir. riemannian geometrisinde öklid'deki çember yalnızca bir doğrudur mesela, bu anlamda her şey farklı olur; bu sistemde de bütün doğrular birbiriyle kesişmek zorundadır, paralel iki doğru yoktur.

    demem o ki aritmetik uzayda da aritmetiktir ama bunun sebebi platonik bir gerçekliğe sahip olması değildir. matematik ve formal mantık sadece birer dildir. doğaya dair bir şeyler söylüyor olmamız konusunda işe yarıyor olmaları onları diğer insan üretimi dillerden farklı bir şey yapmıyor. a harfi de her yerde a harfidir, tıpkı 1 her yerde 1 olduğu gibi. burada önemli olan şunu görmeye çalışmaktır; matematik ayrı bir gerçekliğe sahipse ve insan zihninden bağımsızsa, bu durumda şeylerle ilgisi tamamen kesilip 1+5=3'ün doğru olduğu bir sistem yaratılabilir mi? "olur mu canım 1 1'dir 3 de 3 toplarsan 4 olur." dediğinde sadece ön kabul aldığın şeylerden ve onların sonuçlarından bahsediyorsun. 1, 1 taneye, 3 de 3 taneye işaret ediyor. ama eğer bunlar ayrı bir gerçekliğe sahipse böyle olmaması gerekir, 1'in her zaman 1 olmasını sağlayan şey buradaki karşılığıdır.

    bu son noktada biraz aristo'nun platon'u formlar konusunda ezdiği argümana benzer bir argüman gibi oldu ki o da son derece geçerli bir argümandır ama konu matematik olduğu için ben aslında o kadar geniş bir eleştiride bulunmuyorum. sadece fonksiyonlardan tutun, operasyonlarına kadar matematiğin temelinin insan olduğu çok açıktır zira var olan her bir fonksiyonu ya da operasyonu o fonksiyon ya da operasyon yapan bir şeye ihtiyaç vardır ve bu platon'un formlar dünyasında yoktur. bu dünyadan, evrenden başka bir dünyada da temelini ya da karşılığını bulabilir gibi görünmemektedir.

    sonlara doğru karıştıysa kusura bakılmasın. öylece anlatmaya çalıştım sadece özel bir çaba sarfetmedim.
  • "... şimdi de elde edilen sonuçlar konusunda bazı noktalara değinmek istiyorum. birincisi, işi bitirip sonuçları hesaplayabileceğimiz matematiksel bir formül elde ettikten sonra daha ne yapabileceğimiz sorusu. gerçekten şaşılacak bir şey! belli bir durumda bir atomun nasıl davranacağını anlamak için, bir kağıt üzerine işaretler koyarak kurallar belirliyoruz, bunları çapraşık bir şekilde açılıp kapanan düğmeleri olan bir makinaya veriyoruz; sonuçta atomun ne yapacağını makina bize aktarıyor. eğer o düğmelerin açılıp kapanma yöntemleri atomun bir modeli ise, eğer atomların içlerinde de düğmeler olduğunu düşünürsek, o zaman ne olup bittiğini bir ölçüde anlamış oluyoruz. temel şeyle hiçbir ilgisi olmayan, bazı kurallardan ibaret matematik formüller kullanarak ne olacağının tahmin edilebilmesini gerçekten çok hayrete değer buluyorum. bir bilgisayardaki düğmelerin açılıp kapanması ile doğada olanlar tamamen farklıdır."

    richard feynman - fizik yasaları üzerine*
  • eger platonik gerceklik matematiksel gercekligi fiziksel gerceklikten ayirt etmek icin kullanilan bir tanimsa, matematiksel kavramlarin platonik gercekligi totolojiden ibaret.
    mesele platonik gerceklik ile kastedilenin ne oldugu. kastedilen insan algisindan bagimsizlik ise, fiziksel gerceklik de boyle. farzedelim bu iki gerceklik arasindaki ne oldugu belirsiz ayrimdan vazgectik, gerceklikten tek kastimiz fiziksel varolus. o halde matematiksel kavramlarin gercekligi su anlama geliyor: matematiksel olarak var olan hersey fiziksel olarak vardir.

    evrenbilimci (ve amator felsefeci) max tegmark'in yukaridaki onermeyi savunan ve bu onermenin nasil deneysel olarak sinanabilecegi uzerine fikir yuruten ilginc bir makalesine asagidaki url'den ulasabilirsiniz. farkli yasam formlarinin neden muhtemelen ayni temel matematiksel yapilari kesfedecegine de deginilmis (bolum 2e).

    http://arxiv.org/abs/gr-qc/?9704009

    max tegmark'in sayfasi: http://www.hep.upenn.edu/~max/

    tegmark'in yazdigi bu makale hakkindaki notu:
    every time i've written ten mainstream papers, i allow myself to indulge in writing one wacky one, like my scientific american article about parallel universes. if you don't mind really crazy ideas, check out my bananas theory of everything. this includes musings on the dimensionality of space and time and on the universe containing virtually no information.

    serbest ceviri: makaleyi keyif icin yazdim siz de keyif icin okuyun..
  • böyle bir gerçekliğin var olduğu şöyle iddia edilebilir:

    (her şey binary sistemde düşünülecektir)

    tanım: bir s string'ini (örnek s:01101101010011001100101) yazdıktan sonra duran p programlarının en küçüğüne cillop program denir. eğer s string'ini yazan p programının dosya boyutu bit cinsinden s'in bit sayısına eşitse (örneğin ikisi de 23 bit yer kaplıyorsa) s string'ine rastgele denir.

    formal aksiyomatik sistem: bir matematik sistemdeki tüm deyimlerin anlamlarından arındırılarak simgeler düzeyine indirgenmiş hali. aksiyomlar ve çıkarım kurallarıdan oluşur. her simgenin nasıl kullanılacağı tartışmaya yer bırakmayacak şekilde tanımlanmıştır. böylece, çıkarım kuralları yardımıyla sistemde kanıtlanabilecek her teorem simgeleştirilmiş (formalize edilmiş) olur.

    ıvır zıvır: 1024 bit yer kaplayacan olası tüm programların sayısını hesaplayalım --> 2^(1024)
    bir sıkıştırma algoritması yardımıyla 1024 bitlik programlardan bazıları 1024'den daha az bitle ifade edilebilir ama acaba tüm programları daha az bitle ifade eden bir algoritma yazılabilir mi? hayır yazılamaz. 1023 bite kadar tüm olası programların sayısı [ 2^1 + 2^2 + 2^3 + .... + 2^1023 = (2^1024)-2 ] 1024 bitlik programların sayısından 2 azdır. bunun anlamı en az 2 tane programın böyle bir genel algoritmayla -tüm programlara uygulanma zorunluluğu olan algoritma- sıkıştırılamayacağıdır. sıkıştırılamayan programlara rastgele demiştik. (string'i programla eşanlamlı kullanıyorum fakat bir yanlışlık yok. çünkü turing makinesinde uğraşmaktayız ama bunun pek bir önemi yok şimdi)
    eğer 10 bit veya daha fazla sıkıştırılabilecek programların sayısını hesaplasaydık 1024'te bir 1 gibi küçük bir olasılık olduğunu bulurduk.
    sonuç: rastgele programlar sonsuz tanedir.

    teorem: rastgele programların sayısının sonsuz olmasına karşın hangilerinin rastgele olduğunu ispat etmeye olanak veren hiçbir aksiyomatik sistem(diğer bir değişle algoritma) bulunamaz ve yazılamaz.

    ispat: (raa) bir string'in rastgele olduğunu ispat etmemize olanak veren bir algoritmanın var olduğunu ve algoritmanın kodlanmış halini içeren bir c fonksiyonun elimizde olduğunu düşünelim. c(n) fonksiyonu n sayısını girdi alarak n bitten oluşan ilk rastgele programı yazacak. (örneğin 3 aldı girdi olarak 000, 001, 010,...) deneyerek ilk rastege programı/string'i bulacak.

    bir i programı yazacağız bu program c(n) fonksiyonunu içerecek ve şu işlemleri yapacak:
    i programı kendi boyutuna(uzunluğuna bakacak) [uzunluk değeri c fonksiyonu kaç bitse onu da içerir] ve bu uzunluğun değerine -program kaç bitten oluşuyorsa- 1 ekleyerek c fonksiyonuna gönderecek.*bu durumda i programının büyüklüğünden büyük rastgele bir string i programı tarafından yazdırılırdı.

    bu ise en başta yaptığımız rastgelelik tanımına aykırı olurdu. rastgelelik tanım gereği kendi büyüklüğünden küçük bir program tarafından yazdırılamaz.

    eee? demek ki c fonksiyonu yazılamaz.

    bu sonuç gödel teoreminin* basit ve çok daha anlaşılabilir/güçlü halidir ve çok önemli bir sonuca işaret etmektedir. matematikte ispatlanamayan ancak "doğru" olan sonuçlar vardır. gödel kendi ispatında "bu teorem ispatlanamaz" ifadesini formel sistemde ifade etmeye çalışıyor ve formal sistemlerin ortaya atılmalarının nedeni olan "formel sistemler kullanılarak tamlığın gösterilebileceği" iddiasını çürütmeye çalışıyordu ancak kullandığı yol matematiğin platonik bir gerçekliğe sahip olduğu iddiasına parmak bassa da bazı insanlar için inandırıcı olamıyordu. gödel iddia ediyordu ki formel sistemde "bu teorem ispatlanamaz" iddiasının ispatlanamayacağı aslında ifadenin doğru olduğunu gösterirdi! ("bu teorem ispatlanamaz" iddiası yanlış olsaydı formal sistemde teorem ispatlanırdı çünkü!) kendi kendine gönderme yapmayan rastgelelik örneğinde ise iddia daha sağlamdır:

    bazı stringler rastgeledir ama insan aklı hangilerinin rastgele olduğunu sonlu özel durum dışında hiçbir zaman bilemez. bu matematiğin insan aklından bağımsız gerçekliği olduğunun neredeyse ispatıdır.

    (bu ispat tartışmalıdır, eğer hoşunuza gitmediyse yorumunu sallamayabilirsiniz.*)

    not: turing makineleri değiştiğinde koda eklenecek sabit ile ilgili kısımlar (ünlü translation theorem), formal aksiyomatik sistemin kodlanması, bazı programların c(n)'e girdi olarak verildiğinde durmama olasılığı ile ilgili kısımlar atlanmıştır.
  • şimdi sayıyoruz değil mi?

    sayabiliyoruz. bu sayma nerden geliyor? teklik çokluk ilişkisinden. al sana bir fasulye, al sana iki fasulye. bu yüzden bunlar doğal sayılar değil mi? doğada yoklar, ama en azından karşılıkları var. yoksa 1 dediğim ne, 2 dediğim ne bunlar tamamen soyutlanmış naneler.

    ama sayabiliyoruz.

    önce, nasıl sayabiliyoruz? ya da saymak nasıl mümkün?

    ekleyip, çıkartıyoruz. bu anlamda çarpma ve bölme aritmetiğe ikincil olarak düşüyor. toplama ve çıkartma esas olarak matematiği mümkün kılan nokta. kafamızda bir beceri var, bu beceri önce izlenen şeyi parçalı ya da bütün olarak görmemizi ardından da bir nicelik sınıfa sokmamızı sağlıyor. gözlerinizi kapatıp düşünün bir sonraki cümleyi okuduktan sonra;

    eğer böyle bir beceri olmasa, şeyler, gerçekten niceliğe sahip ve parçalı ve bütün olarak var olsalar bile, bunu bilebilir miydik?

    thomas nagel'ın artık gereksiz bir üne sahip makalesi what is it like to be a bat'te bahsettiği yarasa şeyleri parçalı ya da bütün olarak algılıyor mu? bir nicelik katıyor mu deneyimlediği şeylere?

    kendinizi iki dakikalığına uçan bir yarasanın kafasının içine koyun. ekolokasyon, yani sonarlarla her şeyi algıladığınızı düşünün. yarasanın kafasına girdikten sonra sonarlarınızı kullanarak ve hiçbir şey görmeden uçmaya çalışın. sık ağaçlı bir ormandasınız, epey hızlı bir şekilde uçuyorsunuz. bunu canlandırmaya çalışın.

    "bu ormanda belirli bir alan başına 5 ağaç düşüyor." önermesine benzer bir içgüdüye ulaşabilir misiniz? gerçekliği böler misiniz? sonarınızla size yaklaştığını fark ettiğiniz her ağacı tikel, özel bir ağaç olarak düşünebilir misiniz?

    şimdi deneyi biraz daha ileri götürelim. bir laboratuvarda insan kadar karmaşık beyinler geliştirilip kimi yarasalara aktarılıyor. boyutlara takılmayın, daha küçük ölçekte en az insan beyni kadar kapasiteye sahip bir beyin yarasalara aktarılıyor. neden aktarılıyor diyorum, çünkü nakil değil. dna'larına kodlanmış ki normal bir yarasa hayatı olsun bu beyne sahip organizmanın. bir önceki orman deneyi ile olabildiğince aynı şartlar hazırlansın.

    bu yarasa önceki deneydeki yarasayla aynı erginliğe ulaştığında, hatta neredeyse aynı hayatlar yaşamaları sağlansa, biraz önceki ormanda uçarken parçalık, bütünlük, azlık, çokluk gibi kavramları atfeder mi? bir başka deyişle, sonar atıp uçan bir insan, gene sayabilir miydi?

    ve daha da önemlisi, hangi doğa algısı daha doğru? doğa, yarasanın sonarlarının verdiği deneyim mi, benim deneyimim mi? tam olarak ikisi de değilse de, neden daha karmaşık olan insan algısının verdiği bilgi daha üstün olsun? daha karmaşıklaştıran, daha çok bozuyor olamaz mı? daha sabit, dalgalarla bakan, daha bilge olamaz mı?

    bakın burada uygulamalı matematikten bahsetmiyorum. matematik uygulanır, bizi aya da gönderir, belki galaksiler arası gezdirir. pek fiyakalı teknolojik araçlar gereçler sunar. hesaplamalar yaptırıp, geleceği tahmin etmemizi bile sağlayabilir. bunların hiçbiri ontolojik bir iddiada bulunamaz. matematik var ki doğada, biz işliyoruz diyemez. çünkü bugün, dünyayı evrenin merkezine koyduğumuz bir fizikle, bambaşka matematik uygulamalarıyla aynı başarıya ulaşabilirdik.

    karmaşık hale getirip bozmadan, bunca akli melekeye sahip olmak, bizi gerçeklikten alabildiğine uzaklaştırıyorken, bir de çok acayip işler yapıyoruz, en iyi biz anlıyoruz zannettiremez mi?

    zannettirebilir.

    neticede, biz ekleyip çıkartıyoruz, biz grafikler çizip, teğetlerin eğimlerine bakıyoruz, biz bir aktivitede bulunuyoruz. çıkış noktaları epey bariz olan nosyonları o kadar büyüleyici bir hale getiriyoruz ki, ipin ucunu kaçırıyoruz.

    toplama ve çıkarmayı, matematiğin ortaya çıkmasının temeli olarak aldık. tabi ki bunların altında parçalılık, tamlık, teklik, çokluk, tikellik, nicelik vs gibi bir sürü kavram olduğunu söyledik. ama bütün bunları matematik haline getirirken temel olarak yaptığımız operasyonlar ekleme ve eksiltme. sıradaki soru bu anlamda;

    ekleme ve eksiltme nedir? ya da ekleme ve eksiltme nasıl mümkündür?

    ekleme varolma şartı koşar tanımı gereği. bir şeyler var, ya onları kendilerinden başka bir şeylerden oluşan bir arka planın önüne getirip 0'a, yani orada o cins şeyler henüz hiç yoklarken oraya bırakmaya başlamam gerek, ya da zaten belli bir miktar var oldukları yere birkaç tane daha bırakarak arttırmam lazım.

    bu anlamda hem eklemenin ne olduğunu hem nasıl mümkün olduğunu açıklamış olduk. şimdi yarasamıza geri dönelim. bir insan beyninin sahip olduğu potansiyele sahip bir yarasa beyni, ya da sonarlı bir insan, aynı aktiviyeyi yaptığında ekleme yapmış olur mu?

    bir kere o eklenen şeyleri arka plandan ayıran şey bu sonarlı zihinlerde mevcut olabilir mi? olduğunu varsaydığımızda dahi, çoğulluk ve nicelik algısına sahip olsa dahi bu potansiyelli yarasamız, benzerlik kurduğu nesneleri biriktirdiği yerde kaç tane nesne bıraktığına dair en ufak bir fikri olabilir mi?

    ve asıl soru burada geliyor. cevap "olabilir." olsa dahi, bunu yapamayan standart yarasanın algısından daha çok gerçeklik bahşettiğini kim, nereden bilebilir?

    bugün, bırak bugünü, tarih boyunca insanın en büyük hatası, kendini etrafındakilerden ayıran bir yanının olduğunu düşünmek oldu. buna kimisi duygular der, kimisi akıl der, kimisi ahlak der, kimisi estetik der. bu inanılmaz uç noktaların herbirinde malesef ki özel, saklı bir kibir bulunur. analitik çevrelerde bu barizdir, post-modernlerde daha içten ve ağırdan gelir. bu kibir şahsi meziyetler seviyesinde tanımlanan değil, insan olmaya ve insanın sahip olduklarına ergi anlamında var olan bir şeydir.

    bu hissiyat, yerinde olsa bile, temelsizdir. ne duygusal, ne de mantıksal temele sahiptir. tabi biraz da iki kat ironik bir biçimde, olmayana ergidir.

    gelecek entry; kant ve brouwer'ın platon karşıtı yaklaşımları.
  • (bkz: matematik kesif mi icat mı sorunsali)
  • kant'a ne oldu da birden dünyayı değiştirmeye karar verdi? nasıl oldu da kendisine katılsın ya da katılmasın onu okuyup belli bir seviyenin üzerinde anlayan herkesin düşünce yapısında en temelden etki yaratabilmeyi başardı?

    kant gençliğinde königsberdeki tavernalarda delicesine takılan bir tipken, birden ne oldu da, dünyanın gelmiş geçmiş en keskin düşünce sistemlerinden birini yaratmayı başarabildi?

    hume denen bir adam, gelip deneyimin sınırlarını ortaya koydu ve kant'ı tavernalar dünyasından çekip çıkarttı. nedensellik diye bir şey yoktu; yalnızca psikolojik bir alışkanlığın verdiği bir kavramdan ibaretti. nedenselliği nedensellik yapacak bir zorunluluk yoktu; dünyanın ertesi sabah bu sabah taşıdığı bütün yasalardan başka yasalarla çalışmasını engelleyecek hiçbir zorunluluk yoktu. deneyim bize tikel deneyimsel veriler dışında hiçbir şey veremezdi. peki sırf alışkanlıkla nedensellik, zorunluluk gibi kavramlar üretebilir miydi insan?

    tornips** diye bir şey var desem şimdi size, dünyaya bir düzenlilik, bir yasalılık veriyor desem, "o ne lan?" demez misiniz? dersiniz. çünkü doğada, sizin deneyimlediğiniz kadarıyla doğada, tornips yok, ve siz de herhangi bir alışkanlık sayesinde tornips kavramına ulaşmadınız. çünkü ulaşamazsınız.

    bu çok bariz değil mi? uzay zaman dışında hiçbir şey düşünemiyorum çünkü deneyimin verdiği bilgiyle çizilmiş halde benim sınırlarım. aristo'nun töz arayışında yaptığı gibi, madde tözdür diyemiyorum çünkü formsuz madde mümkün değil. formdur da diyemiyorum çünkü maddesiz form mümkün değil. çünkü deneyimim bana bu kadarını veriyor; formsuz bir madde deneyimleyebilecek olsam, "formsuz bir madde olma" konseptini yaratabilirim. ama deneyimleyemiyorum, bu yüzden yaratamıyorum. aynı şekilde, nedenselliği deneyimlemiyorum, ama kavramı kafamda mevcut. bu kadar deneyiminin dışına çıkamayan bir şey olarak, bunu nedensellikte, zorunlulukta, tekillikte ve çoğullukta vs. nasıl yapabiliyorum.

    bu tarz sorular kant'ı tavernalarda zaman öldürmekten alıkoyup, dünyayı değiştirmesini sağladı. kant'ın matematik felsefesi üzerindeki etkisi, çoğu zaman felsefesi tam olarak anlaşılmadığı ve yüzeysel algılandığı için yanlış yorumlamalarla olsa da, dünya tarihindeki herhangi bir felsefecinin etkisinden çok daha fazladır. sadece kant'ın felsefesine verilen cevaplar ve bu cevapların vardığı yerlerle, bütün bir matematik felsefesi literatürü takip edilebilir.

    konuya döndüğümüzde, kant bu sahip olduğumuz ama deneyimle gelmediği açık olan konseptlerin hume'un dediği gibi alışkanlık sonucu olamayacağını biraz da yukarıda değindiğim tarzda olan bir argümantasyonla reddetti. bunlara sahipsek bir şekilde kafamızda olması gerekir bu konseptlerin kaynağı* diye düşündü. bu anlamda constructive mathematics'in godfather'ı konumuna nasıl geldiğini görmeniz pek de zor değildir sanıyorum.

    burada matematik odaklı ilerlemek istediğim için kant'ı bağlamlarla açıklamaktan ziyade bilmeniz gereken iki önemli noktadan bahsetmek lazım.

    1. biraz önceki meselelerden dolayı, doğadaki düzenlilik doğada değil, bizim kafamızdadır. aklımız, deneyimimizi şekillendirir ve doğası gereği, sahip olduğu deneyim öncesi* kavramları deneyime uygulayarak, deneyimi şekillendirir. bu anlamda tüm deneyim, aklın construct ettiği bir alandır. şeylerin, akla göründüğü hallerinden ibarettir ve asla kendi hallerinde oldukları hal ile alakalı değildir. onlarla ilgili kurduğumuz her önerme de gene anlama yetisinin deneyime kavram katması ile mümkündür.

    mesela;

    "her şeyin bir nedeni vardır." dediğimizde biz bunu gözlemleyebiliyor muyuz? hayır. belli şartlar ve o şartların sonunda her zaman ortaya çıkan bir olayı gözlemliyorsun yalnızca. ancak aklın* sana nedensellik diye bir şeyden bahsederse, bu gözlemlediğin şeyde nedensellik görebilirsin. kısaca "her olayın bir nedeni vardır." dediğinde asla ve asla deneyimden almadığın bir şeyi önermeye ekliyorsun. çünkü olay, nedensellik taşıyan bir şey değildir. çünkü saf deneyimde hiçbir şey nedensellik taşıyan bir şey değildir. bu anlamda sen kafanda bir şekilde var olan bu kavramları* deneyime default olarak empoze ediyorsun ve bu sayede "yağmurun yağması arabamın ıslanmasına neden oldu." diyebiliyorsun. esasen olan ise sadece yağmurun yağması ve arabanın ıslanması. yani nedenselliği sen construct ediyorsun. kafan, bir başka deyişle, öyle çalışıyor. deneyimin bu şekilde mümkün olabiliyor.

    2. zaman ve mekan kant'ın görünün* saf formları dediği iki tane nanedir. zaman ve mekan ancak ve ancak aklın çalışma prensipleri içinde manalarını bulabilen, mantıksal prensiplerden pay alarak zihnin "dayattığı" iki formdur. deneyimi geçerli kılmak için gerekli olan iki form. görü formu olmak demek, aklın construct'ı olmak demek. ki zaten böyle demek olmasa dahi matematik ile ilgili argümanı, matematiği gene construct haline getirecek ama gene de bunu bilmek işi idrak etme konusunda fayda sağlayacak. yani ben zaman ve mekan'ın dışına çıkamam çünkü aklın sınırları buralardadır, bu iki temel form aklın işleyişini, deneyimi mümkün kılar; insan varlığını mümkün kılar aslında. ama bunun dışında hakikat nasıldır, ben bizzat kendim anlama yetimin verdiği kavramlar ve görümün müsade ettiği sınırlar içinde aklımı kullanak neyim, ne değilim gibi sorulara cevap veremem. aslında kant bu noktada verdiğimiz cevap tamamen de safsata olmaz, sonuçta rasyonel bir konstrüksiyon, biraz nümenal değeri vardır falan diyor ama bu tamamen konu dışı.

    şimdi bu iki ayrıntı cepte konuya başlayalım. zaman ve mekan insanın ürünü olarak deneyimi mümkün kılacak ögeler olarak varlar. aritmetik zihnin dayattığı bu birbirini izleyen anlardan oluşan zaman algısından, geometri de uzam algısından ortaya çıkar. akıl ve mantığı bir araya getiren herkesin görebileceği üzere, eğer ardışıklık kavramı olmasa matematiğin olamayacağını herkes söyleyebilir. ardışık olarak akan bir zaman algısı olmayan herhangi biri nasıl şu anki matematikten bahsedebilir? bahsetmeyi bırakın nasıl tahayyül edebilir? aritmetik, demek ki, ardışık takip eden bir zaman algısından ortaya çıkmıştır.

    karşı argüman: hayır aritmetik doğadaki teklik-çokluk algısından çıkmıştır.

    kant buna şu cevabı verirdi: teklik çokluk, bokluk püsürlük olabilmesi için öncelikle zaten zaman algınızın olması gerekir. teklik çokluk fikri*, zaten ardışık zaman algısı sayesinde mümkündür.

    olay anlaşıldı sanıyorum. bu anlamda matematik zaten aklın construct'ı olan bir form'dan gelen türetilmiş bir diğer construct durumunda. understanding'in yani anlama yetisinin verdiği kategorilerin yardımıyla gelen bir construct. nedensellik gibi, limit gibi vs.

    zaten nedensellikle ortak paydası şurada epey ortadadır;

    3+5=8 ve "her olayın bir nedeni vardır." önermelerini alalım. ikinci önermeyi zaten yukarıda nasıl bir sentez, zaman ve mekanın construct olmasından ayrı olarak nasıl bir construct olduğunu gördük. aynı şekilde, 3+5=8 için de, nasıl ki olay neden gibi bir şeyi saf deneyimle bize vermiyorsa, 3 taşla 5 taş yanyana bize 8'i vermez. bunu anlamak için 1 taşa inelim; 1 taş var yanında 1 taş daha var. saf algı burada ne diyebiliyor, "orada yanyana birer tane taş var.". "orada direkt olarak, özsel olarak, içkin olarak 2 tane taş var." diyemiyor. bunu aslında tıpkı nedensellikte olduğu gibi, deneyim bize "orada 2 tane taş var." diyormuş gibi hissediyoruz. ama demiyor. diyemez. çünkü teklik ve çokluk zaten bizim algımızın dışında anlamlı değiller. olsalar dahi, deneyimde teklik çokluk diye bir şey yok.

    kısaca, doğada, düzenlilik, yasalılık yok. zihnimiz bunu kuruyor, matematik de bu yasalılığın içinde ortaya çıkıyor. yani 3 artı 5'ten 8 gelmez. saf analiz bize "ortada sadece bir 3 bir 5 var, bir de ortada bir işaret var eklemeyi temsil eden." der. "bakire kız sevişmemiş kızdır." dediğin zaman bakire zaten sevişmemişliği içkin olarak barındırıyor, aynı şekilde "her sonucun bir sebebi var." önermesinde sonuç sebebin var olmasını içkin olarak tutuyor. çünkü eğer sevişmiş olsaydı bakire olmazdı ya da sebebi olmasaydı sonuç olmazdı. ama 3+5, 8'i aynı şekilde tutmuyor. 3+5, 8 olmasaydı da o şekilde, 3, 5 ve + halinde varlığına devam edebilirdi. bu anlamda matematiksel önermelerin doğruluklarını tamamen insan aklından alıyor olmalarından hareketle, herbir matematik önermesinin bir sentez ürünü ve insan aklının bir inşası olarak var olduğunu söyleyebiliriz.

    bu noktada bir sorum var, ya ne olacaktı? ne bekliyordunuz?

    kant'a uzay zaman'ın da bir construct olup olmadığı konusunda katılıp katılmama üzerinde hiçbir zaman karara varamıyor olsam da, yanlış olduğunu düşündüğümüzde dahi, yani bizden bağımsız bir şekilde işleyen uzay ve zaman olduğunu kabul ettiğimizde bile, matematik için verdiği argüman zararsız kurtuluyor. ki bu zaten diğer fikirlerinin tersine çok da sezgi-karşıtı bir fikir değil. aritmetiğin ve teklik çokluk kavramlarının insanın zaman algısından geldiği argümanı günümüzde hala aşırı derecede değerlidir. buna eklemeler çıkarmalar yapılabilir, günümüz akademik dünyasında yapılmaktadır da. fakat ortada olan şey, einstein'ın ve günümüz teorik fiziğinin en azından işaret ettiği sonuçlar zaman ve uzay algımızın, hakikat hakkında konuşma yetisi açısından epey sıkıntılı olduğunu göstermişken, zamanı bir yöne doğru akmaz kokmaz algılayabilen bir ajanın** matematikle çıkıp gelmesi ihtimalinin neredeyse hiç olmadığıdır.

    not: brouwer'a geçmedim, çok fazla uzayacak, muhtemelen okuyacak olan birkaç kişinin gözü korkup okumayacaktı. bu yüzden o gelecek entry'ye.
  • önce hanım fularımı getir bakınızına güldüm piç demek istiyorum. hatta sesli güldüm ama konuşulan konu o kadar da fular gerektirmiyor bana kalırsa.

    konuya döndüğümüzde verilen cevaplardan aklımda kalan kısımlara keyifle eşlik etmek, eleştirmek, gerektiğinde karşı çıkmak istiyorum. önce turing'in matematiğin sembolü olduğu ile sembol arasındaki ontolojik ayrım savı ile başlayayım.

    önce sembol ve sembol edilenin arasında ontolojik bir ayrım vardır demek tamamen temelsiz bir yaklaşım. neden? çünkü bunu temellendirebilmek için gereken algı farklı duyu organları ve algı yöntemleri geliştirmediğimiz sürece elimizde olmayacak. doğa ve matematik hakkında konuşabildiğimiz her şey zaten doğa ve matematiği anlayabildiğimiz kadar olacağından ontolojik bir ayrımdan bahsetmek ispatlamak istenen savı baştan belirsizce varsaymaktan başka bir şey değildir. (bkz: begging the question)

    bir sonraki nokta 1+5=6 mod3te doğrudur üçlük sistemle sayarız cevabı. ne kastettiğim sanırım yeterince açık olmamış. zira mod3'te bunun sağlanması benim söylemek istediğim şey olan matematiğin ayrı bir gerçeklik barındıramayacağını destekler nitelikte. kuralları değiştirirseniz başka oyunlar oynarsınız. tabi turingin buradaki savı altta yatanın gerçekliği ile ilgili, burası epey açık. ama ne kadar anlatabiliyorum, bilmiyorum, afrika'daki yerlimizin aynı sonuca ulaşması, ve tersini hiçbir sistemde kanıtlayamayacak olması turingin tezine* en ufak bir katkıda bulunmuyor maalesef.

    bu konu sadece insanların bazı önermelere, sistemlere ,yani bilime, matematiğe vs.'ye ortak olarak varabildiğini gösteriyor. bu sadece insanların belirli bir kapasiteye sahip olduğunu ve bu kapasitenin belirli bir yönde çalışıp belirli sonuçlara vardığını söylüyor. her pozitif doğal sayı 4 karenin toplamına eşit yazılabiliyorsa yazılabiliyor, bu nereye varabilir ki en fazla? sende senin aksiyomatik sisteminle bağımsız bir şekilde doğru olmak zorunda algısını oluşturabilir. ama sadece budur. ilk paragrafta söylediğim gibi belirli aksiyomatik sistemler içerisinde bize anlamlı görünen matematiği "taşları istediğimiz gibi bölme" olarak kavramsallaştırsak dahi bu insanın illa ki teori-yüklü düşünce yapısının içinde gerçek olmak zorunda gibi görünecektir. kısacası bu akşam aksiyom üzerinden eleştirirken söylemeye çalıştığım şey bizim gerçek dediğimiz her şey öklid geometrisindeki çakışamayan paralel doğruların gerçek olması gerektiği kadar gerçektir. le beaute du temps'in değindiği gibi gödel'in teoremi burada önemli bir yerde bulunuyor. görsel bir hale çevirmeye çalışayım kafamdakileri çünkü diğer türlü çok zor olacak;

    iç içe çemberler düşünelim. her çemberin dışarıdan bir etki olmaksızın kendisi hakkında teoriler** ürettiğini varsayalım. ilk çember kendine ait özgün bir biçimde içindeki dinamiğin gerçekliğine dair bir teori ortaya atsın. bunun dışındaki çember gelip "evet bu doğru söylüyor." dese dahi** dışarıda bir yamuk, onu saran bir dikdörtgen, onu saran bir başka belki de konveks dahi olmayan bir başka şekil tamamen farklı şeyler söyleyebilir. ve hatta çemberin söylediğine, yamuk "bana da öyle geliyor." dese dahi bu ilk çemberin kendine ait bakış açısıyla elde ettiği nesesiteyi bir gerçek haline getirmez. zira ortada olan tek şey, farklı kavramsallaştırmalar sonucu ortaya çıkan farklı nesesitelerden başka bir şey değildir.

    yani burada hem gödel, hem de empirisist, septik ya da rasyonalist farketmeden insan olarak düşünen her şey için gerçek hepsini kapsayan ve kapsamakla kalmayıp daha da kapsanamayacak olan sayesinde kesin olarak bilinebilir ki bu mümkün mü tartışılır. spinozistik bir pozisyon alınırsa ancak bir yere, ki o da gene hastalıklı bir yerdir, varılabilir; bir tane her şeyi kapsayan, her şeyin içinde olduğu şey vardır ve kalan her şey ondan ibarettir. insan da aklı ile ulaştığı principle of non-contradiction gibi mantıksal zorunlulukları düşüncesinde kullanarak bazı mecburi aksiyomlara ulaşır. bu aksiyomlar gerçekliği yansıtır. yani burada durumu biraz da "gerçeğin kendisi hakkında düşünmesi"ne çevirince ancak gerçeklik hakkında konuşulabilir noktasına varabiliyoruz fakat bu da gene insana dayalı teori-yüklü bir anlayış sayesinde böyle görünüyor ve bu yüzden ki gene bir yere varamıyor.

    platonist'in düsturunu biraz genişletirsem, işler malesef şuraya varıyor. insan'ın bakış açısı teori-yüklü doğasıyla yalnızca ortada olan bir yapı hakkında belirli bir şekilde konuşabilir. o yapı hakkında konuştuğu şekil* ayrı bir gerçeklik barındıramaz. burada şekilden kasıt aksiyomatik sistem ya da semboller değil düşünce sisteminin kendisidir. teori-yüklü doğa derken bahsedilen de budur. başka organizmalar, başka yaşam formları, ya da bizim yaşam olarak tanımlamadığımız ama bir şekilde doğaya dair hayret etme yetisi olan her konkav ya da konveks varlık kendi özgün yaklaşımı ile farklı, diğerinin görmediği şeyleri görebilecektir.

    kısaca benim söylediğim şey, çelişki olduğu zaman matematiksel yapının olmadığının ortaya çıkması gibi bariz bir duruma karşı çıkmak, ve hatta, gerçek olmadığını söylemek değil, matematiğin yalnızca insan gerçekliğinin bir parçası olduğudur. zira insanın konuşabildiği her şey evrenin onun zihnine nasıl sunulduğuyla ilgildir. burada sunuluş derken bir dini ya da amaçsal bir çağrışım yok. sunuluş sadece bedenimizin, duyu organlarımızın, beynimizin ve barındırdığı sinirsel networklerin hep birlikte çalışarak bize sunduklarını ifade ediyor. bu anlamda le beaute du temps'in pisagor yorumuna biraz katılıyorum. her şey sayı değil belki ama, her şey bizim kendi gerçekliğimizde sayılarda bulduklarımızla alakalı olabilir.

    yani en sonunda, taşları ahmet de mehmet de böler, bunu aristo da parmenides de kabul eder, bunu herkes kabul eder. burada sorun yok. asıl soru ve sorun şu;

    taş ne ola, tane ne ola, sayma ne ola, bölme ne ola?
hesabın var mı? giriş yap