birim adım fonksiyonu

• bir f süreksiz fonksiyonu usf'lerin doğrusal kombinasyonu şeklinde ifade edilebiliyorsa, f'in laplace'ı^* bu doğrusal kombinasyon yardımıyla alınabilir çünkü laplace doğrusaldır [çünkü integral doğrusaldır].
  
  ua(t)=(t<a durumunda) 0, (t>=a durumunda) 1
  
  şeklinde tanımlanırsa
  
  laplas{ua(t)}=e^(-sa)/s eşitliğini yazmak mümkündür. tabii s>0 olduğunda. şöyle ki:
  
  laplas{ua(t)}
  
  = integral(0, sonsuz, (e^(-st))*ua(t)*dt)
  
  = integral(a, sonsuz, (e^(-st))*dt) [çünkü t<a iken ua(t)=0]
  
  = limit(m->sonsuz, ( e^(-sm)/(-s) - e^(-sa)/(-s) ) ) [döşe limiti]
  
  m sonsuza giderken^*, limit s'nin değerine göre belirlenir. s<=0'sa ıraksaktır. s>0'sa e^(-sm) [ve böylece e^(-sm)/(-s)] 0'a gidecektir. geriye e^(-sa)/s kalır. yani: laplas{ua(t)} = e^(-sa)/s.
  
  madem o kadar yazdık laplas{ua(t)*f(t-a)} = e^(-sa)*laplas{f(t)} eşitliğini de gösterelim tam olsun:
  
  laplas{ua(t)*f(t-a)}
  
  = integral(0, sonsuz, e^(-st)*ua(t)*f(t-a)*dt)
  
  = integral(a, sonsuz, e^(-st)*f(t-a)*dt) [a'dan önceki kısmı at çünkü 0'a eşit (çarpımdaki usf'den geliyor)]
  
  =integral(0, sonsuz, e^(-s(t1+a))*f(t1)*dt1) [good old substitution: t1 = t-a => dt1=dt]
  
  =integral(0, sonsuz, e^(-st1)*e^(-sa)*f(t1)*dt1)
  
  =e^(-sa)*integral(0, sonsuz, e^(-st1)*f(t1)*dt1)
  
  =e^(-sa)*laplas{f(t)}
  
  uc yil sonra gelen edit: allah belani vermeye flekz.. bu ne la?