laplace dönüşümü

• (bkz: laplas dönüşümü)
• (bkz: atlastan matematik terimlerine dönüşüm)
• bir t domain ine bir laplace domain ine at at bitmeyen transform metodu
• (bkz: l hospital)
• (bkz: z donusumu)
• (bkz: haydi laplas vakit tamam)
• yahu laplas nedir, bak boardmarkerimi cikarip anlatiyorum: alirsin bir sistemi, bir input verirsin zamana bagli bir fonksiyon olarak -x(t)- buna karsilik yine zamana bagli bir output alirsin -y(t)-.
  
  bu input output iliskisine de transfer function -h(t)- denir mi, denir. simdi hepimizin gozbebegi lineer time invariant sistemleri incelerken (time invariance demek, "a inputuna b outputu aldiysam, bu a inputunu 5 saniye gec verseydim, yine ayni b inputunu da 5 saniye gec alir miydim" sorusuna, terminatorumuzun olumlu diye cevap vermesi demektir) ne diyorduk yahu, evet bu sistemleri incelerken goruruz ki y(t)=integral[ h(t-t)x(t)dt] dir. (edit: t-t ne demek yahu, dogrusu h(t-tau)x(tau)dtau olacak. generic elemente tesekkur ederiz)
  
  bu integrali elbette gozumuz bir yerden isiriyor cunku bu meshuuur convolution integralidir. yani y(t) = x(t)*h(t). " * " isareti convolutionu belirtir. (bu meret de, bir fonksiyonu zaman ekseninde ters cevirip ^* yavas yavas kaydirmak ve her kaydirdiginda diger fonskiyonlar ustuste binen yerlerinin integralini almak suretiyle ortaya cikan cilgin bir fonskiyondur)
  
  simdi convolution oyle kolay kolay hesaplanmaz her durumda. ama laplace efendinin bu guzel mirasini kullanarak deriz ki y(s)=h(s) x x(s). yaaa, yani fonskiyonlarin teker teker laplace donusumleri yapilir ve basitce carpililarsa, outputun laplace donusumu elde edilir. oradan da inverse laplacela y(t) bulunur, yani bilmek icin olup olup bittigimiz o outputun zamana gore gelisimi, grafigi.
• peki region of convergence nedir ne degildir.
  
  laplace donusumu bir fonksiyonu alip, bunu e uzeri -st ile carpip, bir de utanmadan integralini almaktir, yani 0'dan sonsuza kadar gecen zamanda (t degiskeni ile belirtilir ya zaman) bu carpimi toplamaktir. yukarda da verilmis formulu zaten, hemen izinsiz copy paste yapalim ---> integral{0'dan sonsuza}(f(t)*e^(-s*t))dt
  
  simdi bu s complex bir sayidir, yani laplace donusumu bir gercek degerli ve zamana gore gelisen bir fonksiyonun complex duzlemdeki karsiligidir. her kompleks sayida oldugu gibi s'in de bir reel bir de imaginary kismi vardir, yani s=a+jb. simdi exponentiali dagitalim adamakilli ve formuluzu yazalim: integral { f(t)x(e^-at)x(e^-jbt) dt}
  
  simdi e^-jbt terimi, cogu insanin hayatinda artik hicbirseyin eskisi gibi olmayacagini simgeler cunku universitede belli ki yanlis bolum secilmistir. ne yapalim batti balik yan gider. bu acayip fonksiyonu gozunuzde, 3 boyutlu helezonik bir hede olarak dusunun. ya da helix seklinde kivrilmis bir cisim alin (uclu kalemlerin yayi gibi) ortasindan bir cubuk gecirin (uclu kalemlerin ucu gibi). cubugun bir ucu, sifir noktasini, ya da iki boyutlu grafiklerdeki origini belirtiyor. cubugun kendisi ise zaman eksenini, ucun dik kestigi duzlem de reel ve imaginary eksenleri. yani uc uzerinde herhangi bir noktayi sabitlersek (t=2.3 milisaniyede dondurduk fonskiyonu) helix seklimizde denk gelen noktayi bir complex sayi ile temsil edebiliriz, reel kismi helix sekilli fonksiyonun (yayimizin) yatay koordinatlarini, imaginary kismi ise dikey koordinatlarini belirriyor. o vakit, herhangi bir zaman icin, iki boyutlu bir grafigimiz var ve eger kizgin kumlardan soguk sulara atlamak suretiyle kendimizi zamanin akisina birakirsak, en basta bahsettigimiz uc boyutlu grafigi, yani cubuklu yayi elde ederiz,
  
  bu terimi aklinizda tutun. simdi bunu diger e terimiyle, yani e^-at ile carpiyoruz. a reel bir sayi ve bu e terimi, sadece zaman ve reel boyutlari olan iki boyutlu bir grafigi temsil ediyor. a'yi pozitif bir sayi olarak varsayarsak, ikinci grafigimiz suna benzer
  
  reel eksen
  ^
  |*
  |***
  |****
  |******
  |**********
  |**************
  |***********************
  |************************************
  |*************************************************************
  ---------------------------------------------------> zaman ekseni
  
  (bosluk kullanilamadigi icin boyle sacma bir grafik oldu, siz her satirdaki son yildiza bakiniz, fonksiyonun o t zamanina karsilik gelen degeri odur.)
  
  gordugumuz gibi exponential olarak azaliyor kardesimiz. dikkat edin ilk bahsettigimiz grafik hicbir zaman bunun gibi sifira dogru yaklasmiyor; herhangi bir t zamanda, o fonksiyonun buyuklugu hep 1 dir. bu buyuklugu de her zaman koordinatina karsilik gelen imaginary ve reel degerlerin ayri ayri karelerini alip toplayarak ve bu toplamin karekokunu alarak buluruz. ucgenin hipotenusunu bulurmus gibi aynen.
  
  simdi bu cizdigimiz grafikle, ilk tarif ettigimiz ve buyuklugu surekli sabit olan dalgayi carparsak, elde edecegimiz fonskiyonun reel kismi tipki yukarda cizilmis olan gibi, zaman gectikce sifira yaklasacaktir. bir de bunlarla, ucuncu terim olan asil fonksiyonumuzu yani f(t)yi carparsak goruruz ki, o da eninde sonunda sifira dogru gidecek.
  
  peki bunun onemi ne? bunun onemi integralimizin finite, yani sonlu olmasi. eger integralini aldigimiz bu uc terimin carpiminin reel kismi eninde sonunda sifira gidiyorsa,laplace donusumumuz icin sonsuz olmayan bir deger elde ederiz, yani integralimiz tanimlanir. iste butun bunlari garantilemek icin de cizdigim gibi, degeri exponential dusen bir grafik sart. bu da demektir ki, o e^-at terimindeki a degeri, mutlaka ve mutlaka sifirdan buuyuk olmali. boylece exponent kismi negatifte kalir ve zamanla sifira duser, carpildigi terimleri de kendisiyle beraber sifira ceker, integralin hayir duasini alir. iste a>0 kosulu da region of convergencetir, yani a bu bolgedeyken, integral sifira converge eder.
  
  diyelim f(t)= e^pt, yani hizi p'ye bagli olarak, zamanla exponential artan bir fonksiyon. bunun laplace'ini aliyoruz. simdi bu f(t)yi e-at yi carptigimizi dusunun. eger f(t), e^-at'nin dustugunden, daha hizli artiyorsa, o zaman zaman ilerledikce (t arttikca) bu ikisinin carpimi cilgin atacak ve converge etmeyecek, integralimiz kendini ise yaramaz hissedip uzulecek. oysa demin de dedigimiz gibi e^-(a+p)t teriminin exponenti negatif olsun ki grafik eninde sonunda converge olsun. bu da demektir ki a+p>0, yani p>-a.
  
  simdi isin icine kompleks kisim girmedigi icin ve s=a+jb oldugu icin, p>-s yazmamizda da bir sakinca yok, ve bu esitsizlik region of convergencei belirtir.
  
  evet acikogretim dersimiz bugunluk bu kadar; laplace hakkinda baska sorulariniz varsa 9090'a "e^???" yazip gonderin, ben anlarim.
• proses kontrolde çok kullanılan matekatiksel dönüşüm.
• elektrik devrelerini daha kolay analiz edebilmek için t domeninden s domenine geçme eylemidir. daha sonra ters laplace alarak tekrar t domenine geçersiniz. hadi hayırlı günler..