özdeğer

• nxn bir kare matrisin n ozdegeri vardir ancak bunlar herzaman ayrik degildir. hepsi ayrik oldugu zaman n adet ozvektor bulabilirsiniz ve bu "linearly independent" n adet vektor diferansiyel denklem sistemlerinin cozumunde cok isinize yarayacaktir.
  
  bulunan ozdegerlerin hepsi ayrik degilse, yani bazilari bazilarina e$it ise, o zaman da n adet linearly independent ozvektor bulmak mumkun, ancak bu sefer isimiz sansa kalmistir. misal, 2x2 bir matrisin sadece 1 adet ayrik ozdegeri varsa, o zaman muhakkak elinizde 1 adet ozvektor var demektir, daha fazlasi yoktur. ama 3x3 matrisin 2 adet ayrik ozdegeri varsa, o zaman ozvektor sayisi 3 te olabilir 2 de, ama en az 2 olacaktir. (ote yandan belirtmekte fayda var, n*n a matrisin n adet ayrik ozvektoru varsa, a matrisi non-defective dir denir, yani a yeterlidir, neye yeterlidir, a'yi d=p^-1*a*p $eklinde yazabiliriz demektir, burada p tekil olmayan bir matris (ozvektorler p'yi olu$turur), d ise diagonal bir matristir (diagonal elemanlari ozdegerlerden olu$ur).. neticede a ve d benzer matrislerdir ve ayni lineer donusumu temsil ederler aslinda, ve fakat d'nin diagonal olmasi hesaplarinizi kolayla$tirir vs..)
  
  iste boylelikle; diferansiyel denklem sistemini cozmeye calisirken, sozkonusu sistemi x' = a*x seklinde tanimlayan nxn a matrisine ait n'den az ozvektor buluyorsaniz yine cozum vardir ancak isiniz baya baya uzamistir, sanirim "jordan form" vs de dogrudan bu konuyla ilgilidir, sikinti vericidir.
  
  tum bu karin agrisindan sonra $u nokta ne kadar da ilginctir: rastgele secilen bir nxn matris cok buyuk olasilikla n adet ayrik ozdegere sahip olacaktir (yani rastgele secilen bir polinomun caki$ik koklere sahip olma ihtimali cok du$uktur). sahsen ben 50000 denek kare matrisin hicbirinde tersi bir durumla kar$ila$amadim. ve evet bu ilginctir cunku lineer cebir-diferansiyel kitaplari uzun uzadiya anlatir aksi durumda ne yapilmasi gerektigini; matematikcilik zor zanaat..
  
  (bkz: i love linear algebra)