• " ... donusum muhtesem olacak... "

    joseph fourier, paris, 1798.
  • fourier donusumu, laplace donusumu, z donusumu, bunlar buyuleyici şeylerdir. işin aslının ne olduğunu ne yazık ki master derslerine kadar anlayamamıştım. lisans hayatım boyunca ezberlenmesi gereken formüller, özellikler vs. gibi gelmişti ve "bi yerden sonra açıklamalarına kafamın basmayacağı bir şey gelecekti, meğer buymuş" dememe sebep olan konulardı. sonradan öğrendim ki bu dönüşümler hayranlık uyandırıcı şeyler, mühendisin sevgilileriymiş. buradan, bu işin aslını öğrenmek isteyen civanlara, dilberlere söyleyeceklerim var:

    bu meseleye vakıf olmak istiyorsanız, lineer cebir ve lineer sistem teorisi öğrenmelisiniz. ne yazık ki benim okulumda fourier transform anlatılırken lineer cebir ve lineer sistem teorisi vurgusu yeterince yapılmıyordu. yıllarca bu konuya hakim olamamak beni yemeden içmeden kesti ey canlar! neyse, burada üzerime düşeni yapıyor ve bu konuyla ilgili sır düğümünü çözüyorum:

    canlar, bu işin aslı tamamen lineer cebirdir. tabi "sonsuz boyutlu uzaylar"da. sonsuz boyutlu uzay lafından tırsmayın, çünkü uğraştığımız hemen her fonksiyon sonsuz boyutlu bir uzayın elemanıdır.

    peki derdimiz ne? neden zaman ekseninde tanımlı, kolay anladığımız bir domainden frekans domainine geçiyoruz? nedeni şu: x(t)=e^(jwt) fonksiyonu, lineer-zaman bağımsız (lti) sistemlerin eigen fonksiyonudur. yani, lti bir sisteme e^(jwt) girdi olarak verilirse, çıktı olarak aynı fonksiyonun bir katsayı ile çarpılmış hali çıkar. biz bu katsayıya h(w) diyoruz, çünkü her bir w için farklı bir eigen fonksiyonumuz olur. yani:

    k*e^(jwt)--> sistem --> h(w)*k*e^(jwt)

    buradaki k, girdi fonksiyonumuzun, w frekansındaki bileşeni, yani x(w) oluyor. bu kadar basit. zaman domaininde filtrelemeler için convolution belası çekmektense, sinyalimizi e^(jwt) lerin toplamı olarak ifade edebilirsek (w: eksi sonsuzdan artı sonsuza), filtreleme için basit çarpma yapmamız yeterli olur. işin özü bu, yani kolaycılık... mühendisler, bu tür şeyleri hayatları zorlaşsın diye yapmazlar, tembelliklerinden yaparlar.

    şimdi e^(jwt) fonksiyonlarının güzellikleri şu ki, bunlar orthogonal fonksiyonlardır. yani w'yu eksi sonsuzdan artı sonsuza götürürsek elimizde sonsuz boyutlu uzaya ait, yeni bir orthogonal basis kümesi olur. bu basis kümesi ile sinyalimizin başka bir ifadesini (representation) yapabiliriz. buna da fourier transform diyoruz. farkettiyseniz, basis set, uzay gibi terimler kullanıyorum, lineer cebir işte tam burada!

    şimdi, lineer cebirde, bir vektörü bir orthonormal bir basis kümesinde ifade etmek istersek yapacağımız şey vektörümüzün her bir basis vektörü ile iç çarpımını (inner product) almaktır. komplex vektörlerin iç çarpımının pek çok tanımı olabilir, bir tanesi (ki fourier transform için de bu kullanılır) şöyledir:

    <x,y> = (x~)^t * y (x~ konjüge, ^t transpose demek)

    yani, y'nin her bir elemanı ile x'in karşılık gelen elemanının konjugesini çarpıyoruz, çarpımları topluyoruz. sorun şu ki, bizim vektörlerimiz (fonksiyonlar) sonsuz boyutlu. continous domain'deki eksi sonsuzdan artı sonsuza integraller ya da ayrık domaindeki sonsuz toplamlar işte buradan geliyor. ayrık (discrete) domainde işler daha kolay anlaşılıyor. e^(jwt) lar ile iç çarpım almak demek her w için e^(jwt)~ ile çarpmak ve çarpımları toplamak demek. e^(jwt)~ = e^(-jwt) . işte fourier dönüşümünde e'nin üstünün neden negatif olduğu sorusunun cevabı bu.

    yine, bir sinyali zaman domainde ifade etmek nasıl olur bakalım:

    x(t) = integral( x(ti)*imp(t-ti)*dti ) , ti eksi sonsuzdan artı sonsuza (ayrık durumda integral yerine toplam gelir)

    burada ti integral değişkenimiz, imp(t) de impulse (atım) fonksiyonu. yani zaman domainde bir sinyali x(t) olarak ifade ederken, aslında {imp(t-ti)} şeklindeki bir basis kümesinde sinyalimizin ifadesini yazmış oluyoruz. eğer sinyalimizi {imp(t-ti)} basis kümesi ile değil de {e^(jwt)} basis kümesi ile ifade ediyor olsaydık şöyle olurdu:

    x(t) = integral( x(w)*e^(jwt)*dw ) , w eksi sonsuzdan artı sonsuza

    aynı sinyalin iki farklı basis kümesi ile ifade etmiş olduk. ikincisi bizim ters fourier dönüşümü dediğimiz şey. imp(t-ti) içeren ifadeyi dile getirmiyoruz, çünkü buna gerek yok, zaten bize çok doğal gelen bir şey (bir sinyal, her t anında aldığı değerlerle ifade edilir). gördüğünüz gibi, aslında bunlar, bir sinyalin, aynı uzayı geren iki farklı basis kümesi ile ifade edilmesinden ibarettir. frekans domainde çalışmak istiyoruz çünkü bu domainde sistem tasarlamak, girdi-çıktı analizi yapmak daha kolay.

    fourier transformda, başlarda 1/2*pi gibi terimler olur. bu da aslında, orthogonal olan {e^(jwt)} kümesi elemanlarını orthonormal (büyüklüğü 1 olan) elemanlara dönüştürmek için yapılan bir ölçeklemeden kaynaklanır. derslerde öğretilen fourier dönüşümü, bu açıdan birazcık sakattır çünkü orthonormal ifade için başta 1/2*pi yerine 1/sqrt(2*pi) olması gerekir, ama bunu dert etmeyin, zaman domain'e geri dönüşte doğru sonuç alınacak şekilde düzeltiliyor. kare kök olmadan öğrenmek daha kolay diye öyle yapıyorlar. gördünüz mü, her şey daha kolay olsun diye kasıyoruz :)

    yalnız, dtft olayına (ayrık sinyal, continuous dönüşüm) halen ben de tam olarak vakıf olabilmiş değilim. yani bir açıklaması var tabi de, evladım gibi benimseyemedim, o topa girmiyorum o yüzden.

    burada sinyalin fourier transformunun olması koşullarına girmiyorum, ki aslında o da bir lineer cebir konusudur (sinyalin kare toplamlı fonksiyonlar hilbert uzayı mensubu olması gereği).
    yeni demem o ki, ey mühendisler ve mühendis adayları, fourier transform işine girecekseniz, önce bi lineer cebir ve lineer sistem teorisi öğrenmeyi deneyin. dünyanız aydınlanacak, emin olun...

    en güzel günler, en güzel geceler sizlerin olsun, allasmarladık efem!
  • önceden mutlaka yazılmıştır fakat basit olarak tekrar etmek istiyorum, zaman tanım alanında tanımlı her hangi bir periyodik fonksiyonu frekans tanım alanında ifade etmenizi sağlayan matematiksel ifadedir. bu dönüşüm daha sonra fourier'in öğrencisi laplace tarafından daha da geliştirilmiş ve laplace dönüşümü (z dönüşümü) şeklini almıştır. bu matematiksel ifadeler elektronik mühendisliğinin temelini oluşturmaktadır denebilir.

    fourier dönüşümü, eğer temel calculus bilginiz iyi değilse ilk bakışta gerçekten oldukça karmaşık gözükür. bu olayı tam kavrayabilmek istiyorsanız önce euler özdeşliği anlaşılmalı. leonhard euler'in bulduğu bu ifade matematik tarihindeki en zarif denklemlerden birisi olarak anılmaktadır. ifade şu şekildedir:

    e^(i*teta)=cos(teta)+i*sin(teta)

    eksponansiyel bir fonksiyonu, trigonometrik bir fonksiyon olarak ifade etme olanağı sağlamaktadır. bu denklemi derinlemesine anlamak isteyenlere denklemin her iki tarafında yer alan değerleri taylor veya maclaurin serisine açmalarını tavsiye ederim. e^(i*teta) reel ve imaginary düzlemde bir vektör, cos(teta) ve i*sin(teta) terimleri ise vektörün eksenler üzerindeki izdüşümleridir. bu konu a.p. french'in "waves and vibrations" kitabında öküze anlatılır gibi anlatılmış.

    şimdi esas konuya gelecek olursak doğada periyodik fonksiyonlar genel olarak trigonometrik fonksiyon olarak ifade edilir (basit harmonik hareket). belirli frekansta bir hareketi zaman düzleminde şöyle tanımlayabiliriz:

    x(t)=a*sin(w*t)

    a hareketin genliğini, w frekansı, t ise zamanı ifade etmektedir. tabi çoğu hareket (mesela deprem) sadece tek harmonik fonksiyondan oluşmaz. birden çok harmonik hareketin bir araya gelmesinden oluşur. işte fourier dönüşümü bu noktada devreye giriyor. fourier dönüşümü diyor ki: her hangi bir periyodik fonksiyon, sonsuz sayıda farklı genlik ve frekansa sahip sinüzoidden oluşur. yaaani diyor ki:

    y(t)= sigma(an(w)*e^(i*n*wo*t)) (n=- sonsuzdan + sonsuza) (sigma=toplama işareti veya integral)

    fonksiyonunda t anındaki değer, frekans cinsinden an ve eksponansiyel ile çarpımlarının toplamıdır. an farklı frekanslara ait katsayı, eksponansiyel ise sinüzoidi ifade eder (an'e fourier katsayısı denir). fourier katsayıları:

    an(w)= sigma( y(t)*e^(-i*n*wo*t))

    denklemiyle bulunur. bu denkleme fourier dönüşümü, bir öncekine ise ters fourier dönüşümü denir.

    fourier dönüşümünü uyguladığınızda, sinyalinizi oluşturan farklı frekans bileşenlerine ait genlikleri ve fazları bulmuş olursunuz, . bu da size sinyalinizin frekans içeriği hakkında bilgi verir. tekrar ediyorum sinyalinizi zaman düzleminden alır frekans düzlemine taşır, artık olaya tamamen başka bir perspektiften bakıyorsunuz, gerçekten etkileyici.
  • nedir? ne değildir? kafamda biraz daha şekillensin diyenler için aşağıdaki adresler çok yararlı olacaktır. (ilk site ödüllü) "ula furye bu muymuş?" diyebilir insan.

    http://www.falstad.com/fourier/
    http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/sound/sound.html
    http://www.nst.ing.tu-bs.de/…en/fourier/en_idx.html

    kullanım alanına bir misal dersen her insanın sesi nevi şahsına münhasır sinüs ve kosinüslerin toplamıdır. eğer sen bu ses sinaylini alır, örnekler, örnekleri işler, er kişinin sesine ait özellikleri (bu sinüs ve kosinüslerin genliği frekansı fazı) bir yere kaydedersen aynı işlemi diğer seslere de yapıp sesin bu kişiye ait olup olmadığını bulabilirsin.
  • fourier transform fonksiyonlari baska fonksiyonlara cevirmekten ziyade, basitce time-domaindeki fonksiyonlarin (sinyallerin) frequency domaine cevirilmesine yarar.
  • (bkz: allahin adini verdim yeter ya)

    gına gelmiş bir grup öğrenci....
  • gozumuzdeki mercegin yaptigi istir. mercek olmasaydi gozumuze gelen isigin beynimizde donusturulmesi gerekirdi. o zaman kafamiz ne kadar buyuk olurdu bilemiyorum.
  • yeryüzünde bilinen tüm matematiksel fonksiyonları bir sabit sayı, sine ve cosine in toplamı olarak ifade edebildiğiniz matematiksel bir yöntem. bu lanet dönüşümü mühendislikte okuyan (özellikle elektrik-elektronikte devre teorisi ile ilgili herşeyde, frekans domenine geçirilecek herşeyde kullanılır.) her öğrenci öğrenecektir. ulan bunun düzgün dönüşümünü alamazken birde dönüşmüşleri ters döünüşüm yapmak zorunda kalıyoz yaa üfff.
  • ftır olarak anılan infrared spektrofotometrelerin başındaki ft harfleri buna değinir. fourier transformu yapılmadığında gelen veriyi almak işlemek ziyadesiyle vakit alır. eskiden fourier dönüşümlüler onca yaygın değil iken yarım saat bir infrared scani için makul bir süreymiş yani.
    veri nerden geliyorsa gelsin, fourier dönüşümlüsünü tercih edin.
  • http://upload.wikimedia.org/…cy_domains_(small).gif
hesabın var mı? giriş yap