hesabın var mı? giriş yap

  • kaos teorisi ve düzensizlik girdisinde kendisinden bahsetme sözü verdiğim ingiliz matematikçi john horton conway'dir.

    conway'in 2005 yılında rus matematikçi alexander soifer ile the american mathematical monthly isimli hakemli dergide yayınladığı makalenin görseli:

    can n^2 + 1 unit equilateral triangles cover an equilateral triangle of side > n, say n + epsilon?

    görselde de görülebileceği üzere makale başlığı dışında 2 kelimeden oluşuyor.

    bunlar sırasıyla:

    1: n^2+2
    2: can

    conway ve soifer önermelerini bu iki kelime dışında hiçbir şey yazmadan, yalnızca iki basit üçgen görseli ile iki farklı şekilde kanıtlıyor.

    makalede sorulan soru makalenin başlığında mevcut. conway ve soifer başlıkta " n^2+1 adet eşkenar üçgen, kenar uzunlukları n'den büyük, mesela n+epsilon olan bir üçgeni kaplayabilir mi?" sorusunu soruyorlar ve bu soruya da cevap olarak n^2 + 2 adet üçgenin kenar uzunlukları n+e olan bir üçgeni doldurabileceğini gösteriyorlar.

    peki bu ne demek? neden n^2+1 kenar uzunluğuna sahip bir eşkenar üçgenin kaç adet eşkenar üçgen ile doldurulabileceğini merak ediyoruz?

    oldukça temel bir geometri teoremine göre eğer elimizde kenar uzunluğu n olan herhangi bir eşkenar üçgen varsa bu üçgeni doldurmak için n sayısının karesi adedince kenar uzunlukları 1 olan eşkenar üçgen kullanmamız gerekir.

    örneğin kenar uzunluğu 3 olan bir eşkenar üçgenimiz varsa bu üçgenin içini doldurmak için kenar uzunluğu 1 olan 9 tane eşkenar üçgen kullanmamız gerekir. kenar uzunluğu 6 olan bir eşkenar üçgenimiz varsa da bu üçgenin içini doldurmak için kenar uzunluğu 1 olan 36 tane eşkenar üçgen kullanmamız gerekir.

    basitçe kenar uzunluğu n olan bir eşkenar üçgenin içini doldurabilmek için kenar uzunluğu 1 olan n^2 tane eşkenar üçgen kullanmamız gerekir.

    bu teoremin kanıtını internette bulmaya üşendiğim için demin oturup kendim yaptım. bu teorem aslında basit ve bilindik bir teorem olduğu için kanıt kısmını --- işaretiyle ayıracağım. dileyen kanıt bölümünü atlayarak conway'in makalesine geçebilir.

    kanıt şu şekilde:

    önce kenarı n uzunluğunda olan bir eşkenar üçgen çizip bu eşkenar üçgenin yüksekliğini buluyoruz. yüksekliğine a diyelim.

    n kenar uzunluklu eşkenar üçgen

    n kenar uzunluğu olan eşkenar üçgenin yüksekliği olan a değeri pisagor teoremince [n(3^1/2)]/4 olacaktır.

    a yüksekliği

    bir üçgenin alanı o üçgenin tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısıdır. eşkenar üçgenlerde her kenar birbirine eşit olduğu için n kenar uzunluğuna sahip eşkenar üçgenin tabanı n olacaktır.

    böylelikle n kenar uzunluklu eşkenar üçgenin alanı n(a)/2 olur.

    n kenarlı eşkenar üçgenin alanı

    bizim aradığımız şey n kenar uzunluğu olan eşkenar üçgeni doldurmak için kaç adet 1 kenar uzunluğu olan eşkenar üçgen kullanmamız gerektiği.

    kenar uzunluğu 1 olan üçgenin yüksekliğine b diyelim.

    b uzunluğu

    yine üçgen alan formülünden dolayı kenar uzunluğu 1 olan üçgenin alanının b/2 olacağını biliyoruz, çünkü taban zaten 1 olduğu için bölme işleminin üst kısmına bir etkisi yok.

    kenar uzunluğu 1 olan eşkenar üçgenin alanı

    bu noktada şunu anlıyoruz.

    kenar uzunluğu n olan bir eşkenar üçgenin alanı n^2[(3^1/2)/4] olur ve kenar uzunluğu 1 olan eşkenar üçgenin alanı da (3^1/2)/4 olur. yani aslında eğer kenar uzunluğu 1 olan eşkenar üçgenin alanının n^2 tanesi kenar uzunluğu n olan eşkenar üçgenin alanına eşit olur.

    alan eşitliği

    ---

    conway'in makalede sorduğu soru da şu.

    kenar uzunluğu 1 olan (n^2) + 1 adet eşkenar üçgen kullanarak kenar uzunluğu n sayısından büyük olan herhangi bir eşkenar üçgen doldurulabilir mi?

    conway'in cevabı ise basit.

    "(n^2)+2 doldurur"

    yani aslında conway soruya evet ya da hayır cevabını vermiyor ama problem hakkında edindiği bir bilgiyi paylaşmış oluyor. yani makalede sorulan sorunun cevabı olmasa bile sorulan sorunun cevabı hakkında fikir verebilecek bir buluş sunmuş oluyor ve bu buluşun doğruluğunu da iki farklı yöntem ile gösteriyor. yöntemlerden ilki oldukça basit iken ikincisi biraz daha ileri düzey matematik istediğinden ve zaten içlerinden birini açıklamanın dahi yazının ana fikrini gösterebilmek adına yeterli olmasından dolayı sadece ilk yöntemin açıklamasını yapacağım.

    1. yöntem:

    yöntemin görseli

    ilk yöntemde n+e kenar uzunluğuna sahip eşkenar üçgenin n uzunluğuna sahip alanından 1 çıkararak n+e kenarını (n-1) uzunluğu ve (e+1) uzunluğu olarak ikiye ayırıyoruz.

    bunu yaptığımızda ortaya kenar uzunlukları n-1 olan bir eşkenar üçgen alanı ve bu eşkenar üçgenin altında kalan bir ikizkenar yamuğun alanı oluyor. bu iki alanın toplamı n+e kenarlı eşkenar üçgenin alanını bize verir.

    n-1 eşkenar üçgenin içini (n-1)^2 adet 1 kenar uzunluğu olan eşkenar üçgenle, yani n^2 -2n + 1 adet üçgenle doldururuz.

    altta kalan ikizkenar yamuğu ise yan yana dizilmiş 1 kenar uzunluklu eşkenar üçgenlerin altlı ve üstlü dizilmiş halde böldüğümüz zaman bu yamuğun içini görselde de görebileceğiniz altta n+1 adet, üstte de n adet üçgen kullanarak, yani toplamda 2n+1 adet üçgen kullanarak doldurabiliyoruz.

    böylelikle tüm üçgeni doldurmak için n^2 -2n + 1 + 2n + 1 adet üçgen, yani n^2 + 2 adet üçgen kullanmış oluyoruz.

    peki neden conway ve soifer böyle bir makale yazmış?

    açıkçası ben bunun bir çeşit güç gösterisi olduğunu düşünüyorum.

    üniversite eğitimi almış herhangi biri bilimsel metin üretimi dersine girmiş ve makale yazabilmek için gerekli olan şeyler listesini görmüştür.

    örneğin bir makale yazmak istiyorsak ortada bir problem olmalı, bu problem hakkında bilgi verilmeli, bu problem hakkında daha önce yapılmış olan çalışmalardan bahsedilmeli, diğer makalelere atıfta bulunulmalı, bu atıflar ve çalışmalar hakkında kaynakça sunulmalı, daha sonra bu problemin çözümü için yeni bir yöntem önerilmeli ve bu yöntemin doğruluğu kanıtlanmaya çalışılmalı.

    bütün bu kaynakça gösterme, alıntı yapma, atıfta bulunma, örnek verme gibi işler neden yapılır?

    çünkü bizimle aynı alanda çalışan diğer insanları sunduğumuz ön bilgileri uydurmadığımıza ve dolayısıyla saçma sapan konuşarak saçma sapan sonuçlara varmadığımıza ikna etme gereksinimi duyarız. mesela bir ilaç hakkında makale yazarken "bu ilacı 100 kişiye içirmişler 98'i ölmüş" gibi bir bilgi verip bu bilgi üzerinden mantık yürütüyorsak makaleyi okuyan kişiye bu bilgiyi nereden bildiğimizi söylememiz, yani kaynak göstermemiz gerekir çünkü biz bu kaynağı okuyucuya vermezsek okuyucu evde oturduğu yerden 100 kişiye aynı ilacı içirip 98 kişinin öleceğini teyit edemez. dolayısıyla okuyucunun bu bilgiye inanabilmek için o bilgiyi kimin ortaya attığını öğrenmeye ihtiyacı vardır.

    şimdi conway'in makalesini düşünelim.

    bu makalede çözülmeye çalışılan bir problem, bu problemin çözüm yolu hakkında ipucu verebilecek bir önerme ve bu önermenin doğruluğu üzerine mantık yürütme var.

    ne yok?

    kaynakça gösterme, alıntı yapma, atıfta bulunma, örnek verme gibi işler yok.

    neden?

    çünkü matematikte bir bilgiyi kimin sunduğunun veya bu bilginin hangi kaynaktan çıktığının hiçbir önemi yoktur. bir matematikçinin eşkenar üçgenler hakkında aklına yatan bir fikri başka bir matematikçiye anlatabilmesi için o matematikçiye eşkenar üçgenlerin özellikleri hakkında kimin daha önce ne düşünmüş olduğunu ve bu düşüncelerini nerede paylaşmış olduğunu açıklamaya ihtiyacı yoktur. eşkenar üçgen dediğimiz şeyin tanımı ve bilinen özellikleri bellidir ve bu özellikler hakkında fikir ayrılıkları olmaz çünkü matematikte belkiler yoktur. doğru ya da yanlış vardır. hepsi bu.

    mesela ben bu yazıyı yazarken yazıyı okuyan sizlere n kenar uzunluğuna sahip eşkenar üçgeni doldurmak için 1 kenar uzunluğuna sahip n^2 tane eşkenar üçgen gereklidir bilgisini verirken sizin bu bilginin doğruluğundan emin olabilmeniz için benim size bu bilginin kaynağının ne olduğunu söylemem gerekmez çünkü siz de tıpkı benim yaptığım gibi evde masanızın başına oturup gerçekten öyle olduğunu lise düzeyinde matematik bilginizle kendi başınıza kanıtlayabilir ve bu bilgiyi kimin ortaya attığını önemsemeden bu bilginin doğruluğundan emin olabilirsiniz.

    işte bunu yapabilme yetisi matematiğin size verdiği güçtür.

    güç gösterisi dediğim şey de bu gücün bir makale yoluyla sergilenmesidir.

  • gps ile degil, bluetooth teknolojisi ile calisiyor ve kendisinin baglanabildigi apple cihazi vasitasiyla konum gonderiyor. mesela anahtarliginda var bundan. anahtarini kaybettin. bluetooth'u acik bir apple cihazi yeteri kadar yakinsa haritada tag'inin bagli oldugu sey her neyse konumunu gorebiliyorsun.

    yeni bir sey mi? hayir. tile benzeri sirketler bunu yillar yillar once yaptilar. cinliler bir ara bastilar da bastilar bundan - senelerin birinde cin teknoloji fuarlarinin yarisi bluetooth tracker'di. fikrin asil guzelligi su ki, mesela tile'inin takili oldugu bir seyi disarda kaybettin. tile uygulamasi olan baska bir bluetooth'lu telefon yakinindan gecti. uygulaman sana harita konumu olarak gonderiyor bilgiyi - konumu baglandigi telefonunun gps'inden aliyor. konum guncellemesini baglandigi cihazin internet baglantisiyla gerceklestiriyor. eger tile cok genis cevrelerce alinsaydi, herkesin, pili 2 sene boyunca giden konum belirleme cihazlari olacakti. tabi ki boyle olamadi. herkes o kadar tile almadi. herkes o kadar tile app yuklemedi. bu yuzden tile tag'lerin kapsama alani hep sinirli kaldi. ama apple'in elindeki guc su ki, herkeste apple var. apple icin muthis bir proje. iphone cok genis cevrelerce kullanildigi icin bu tags de dogal bir gps cihazi olacaktir. cunku ozellikle sehirlesmis bolgelerde, cihazin birakildigi yerden illa ki bluetooth'u acik bir iphone gececek ve tags'in sahibine konum gonderecektir. bravo apple, biraz geciktin ama elindeki gucle rakip birakmazsin.

  • sadece sağ ayağı ile 500 golü olan bir mitolojik karakter. bu sayı brezilyalı ronaldo, thierry henry, andriy shevchenko gibi efsane forvetlerin tüm kariyerinde attığından daha fazla. sol ayağı ve kafasıyla ayrı ayrı üçer haneli gol sayılarına ulaştığını hatırlatmaya gerek olmasa da kariyerinin dörtte üçünde kanatta oynadığını eklemek gerekiyor. tarihin gördüğü en komple gol makinesi. gelen ortanın üstünden geçme şansı yok, sol ayağına gelen topu sağına çekmesine gerek yok. set oyunu oynadığınızda tilki gibi konumlanabilir, kontra aradığınızda 36 yaşında bile hala ölümcül olabilir. ceza sahası dışından 100'den fazla golü vardır, yarısına yakını serbest vuruştur. otuz beş metrenin uzağından attığı çokça golü vardır. yüz elliden fazla penaltı kullanmasına rağmen %85'e yakın gole çevirme oranı vardır. o fizikteki başka hiçbir futbolcunun atmadığı kadar fazla slalom gol atmıştır. avrupa şampiyonası, şampiyonlar ligi, premier lig, serie a ve la ligada gol kralı olmuştur. ilk ikisinde ayrıca tüm zamanların lideridir. galiba futbola gol denilen şey bu adam atsın diye girmiş. sonsuz saygıyı hak ediyor.

  • gelişleri de kurşun atmadan olmuştu zaten.
    gören de padişah ve şehzadeler elde mitralyöz istanbul'u işgal etmeye gelmiş ingilizlere ta-ta-ta sıkarken silah başında şehit oldular zanneder.

    istanbulu kendilerine ikram eden padişahın kendisinin himmete muhtaç bir dede olduğu görülünce ingilizler "bunun bize de faydası olmayacak anlaşılan, biz bedava işgal için gelmiştik o zaman biz kaçar" dediler, giderken de himmete muhtaç padişaha son bir yardım edip geçerken avrupaya bıraktılar.

    var mı lan öyle üç kuruşa beş köfte, padişah kalsaydı vardı.

  • ibb cidden halkın yararı için çabalıyor.ellerinden geleni yapıyorlar.inşallah yeni sistem bir an önce uygulanır.

  • bu ulkede anadolu insaninin birseylerden vazgecmek icin illa olaylarin direk olarak kendi ceplerine dokunmasi gerektiginin kanitidir.

  • randevu vermedikleri için randevusuz gitmiştir. ana muhalefet başkanını almak zorundalar, alacaklar, almıyorlarsa o zaman yalan istatistik paylaştıklarını kabul ediyorlar demektir. gerçi görünen köy kılavuz istemez.

    tabi @2 kafasındakilerin bu işine gelmediğinden aptallık olarak lanse etmeye çalışıyorlar orası ayrı konu.. allahtan aklımız var, farkındalığımız var.

    edit : paralı troller yeşillendirmeye başladı. arada akıl izan sahibi olan bir arkadaşım ise kaynak ekler misin? diye sormuş

    kaynak

    teşekkürler (bkz: gocibari)

  • evlenmeden önce istisnasız bütün evli tanıdıklarım "evlenme" diyordu. evlendim.

    şimdi bekar bütün tanıdıklarıma "evlenme" diyorum. biliyorum onlar da evlenecekler.

    bu evlenecek olanlar da zamanı gelince başkalarına "evlenme" diyecekler. bunu da biliyorum.

    garip bir döngü var, bu konunun üzerine gidilmesi lazım.

  • genel bilinen bilgi kendisinin hiç düşürülmediğidir. oysa 1944 yılında radyatörüne aldığı isabet neticesinde rusya topraklarına zorunlu iniş yapmıştır. uçağın başına kontrole gelen ruslardan ise karın ağrısı numarası ile kurtulmuş, birliğine kadar yürüyerek geri dönmeyi başarmıştır.