sayılabilir sonsuz

• arkasında yatan anlam, "sayılabilir sonsuz bir kümenin elemanları sayarak eleman sayısını bulmak" değildir.
  sayılabilir sonsuz bir kümenin her elemanına bir tamsayı karşılık geldiği için hayatımız çok kolaylaşır (!) mesela evrendeki çikolata çeşitleri kümesi sayılabilir sonsuz olsun. her çeşide bir tamsayı geldiği için ben bu çeşitleri düzgün bir sıraya koyup sıradan hepsinin tadına bakmaya başlarsam istediğim herhangi bir çeşidin tadına er ya da geç bakacağımı bilirim. çünkü o çeşide karşılık gelen bir n sayısı vardır, ve 1'den saymaya başlarsak ister istemez sonlu bir zamanda n'e geliriz. tüm çeşitleri tatmak sonsuz zaman alır tamam, ama benden hangi çeşidi tatmamı isterseniz ben de onu tadabilirim. ya çikolata çeşitleri sayılamaz sonsuz olsaydı? o zaman ne yaparsam yapayım, sonsuza kadar da beklesem asla tadına bakamayacağım bazı çikolataların olduğunu bilecektim. işte bu kavram bu kadar önemlidir.
• aciklamak gerekirse, 1 den sonsuza kadar dogal sayilari (1,2,3..)saymaya baslayin ve her sayi icin bir parmaginizi bukun, 10a geldikce parmaklarinizi yeniden acin ve saymaya devam edin. bu isi ne kadar uzun yaparsaniz yapin o ana kadar saydiginiz tum sayilari kapsamis olacaksiniz, ancak sonsuza dek de saymaya devam edeceksiniz. yani dogal sayilar kumesi sayilabilir bir sonsuzluktur.
  
  simdi ayni islemi 0 dan 1'e kadar olan reel sayilar icin deneyin. mesela 0.1 artirimlar ile parmaklarinizi bukun, ne goreceksiniz 0.1 den 0.2 ye giderken ornegin 0.15 atladiniz. 0 zaman 0.01 ile saymaya baslayalim, bu sefer de 0.015 i atladiginizi gorecekseniz. ne kadar kucuk adimlarla saymaya baslarsaniz baslayin 0 ile 1 arasinda saymadiginiz reel sayilar olacaktir. yine sonsuza dek saymis ancak her sayiyi kapsamayi becerememis oldugunuzdan 0 ile 1 arasi reel sayilar sayilamaz sonsuzluktur.
  
  sayet bu basit problemden rahatsizlik duyuyorsaniz reel analiz adli bela dersin alti derece yakinindan dahi gecmeyin. hatta sayi teorisi dersi de almayin. ya da iyisi mi siz matematikci olmayin.
  
  edit: matematikci degilim, bu dersleri aldim, agzim yandi, benden sonrakiler yanmasin diye soyluyorum...
• bu kavramı anlamaya yaklaşabilmek ve sonsuzun ne olmadığına dair fikir edinmek açısından, "sonsuz odalı otel" problemi çok güzel bir örnek. tabi tüm bunlardan önce, "sonsuz"un ne olduğuna ve dolayısıyla da bu süreçte, ne olmadığına dair kafa yormuş olmak gerekiyor biraz. nasıl ki felsefenin, psikolojinin, fiziğin, tasavvufun veya diğer başka alanların kendilerine özgü kavramları varsa ve bunları özümsemek için vakit gerekiyorsa, aynı şey matematiğin kavramları için de geçerli. bu yüzden "matematiğin uydurma sonsuzu" diye bir şey mevzu bahis değildir. bu, bir matematikçinin "nirvana" (veya "vecd") konusunda bir teoloğa / nöroloğa ahkâm kesmesine benziyor biraz.
  
  "sonsuz" denen mevhum, tabii ki problemli bir kavram olmuştur hep. pek bilinmemekle beraber, matematikte "sonsuz"un kullanılıyor olmasından rahatsız olanlar ve karşı çıkan kişiler de olmuş ve bu da insanların matematik yapma biçimlerini etkilemiştir (bkz: leopold kronecker). bunun yanında, örneğin george cantor, niceliği farklı sonsuzların olduğunu gösterdiği için, henri poincaré ve leopold kronecker gibi matematikçiler tarafından ciddiye alınmamış, üstüne üstlük kilise tarafından da aforoz edilmiştir. aforozun sebebi oldukça açık... "tek" oluşu yüzünden, tanrı ile özdeşleşmiş olan "sonsuz" kavramının değişime uğrama ihtimali ve bunun felsefi sonuçlarıdır kiliseyi ürküten. cantor ne yapmıştır tam olarak ? "sayılabilir sonsuz" ve "sayılamaz sonsuz" olarak, en az iki sonsuz olduğunu göstermiştir, yani ispatlamıştır. öncelikle sonsuz ne değildir ? bir "sayı" değildir. aslında matematikte, "sonsuz" dendiği vakit kastedilen, bahsi geçen değişkenin sürekli büyüdüğüdür. bu durumu, otel problemine uygularsak, oda numaralarının sonsuza doğru gittiği doğrudur ama üzerinde "sonsuz" yazan bir oda yoktur. yani son odaya birini yollayamazsınız, çünkü son oda yoktur ve aynı şekilde tekrar edecek olursak, "sonsuz" numaralı oda da yoktur...
  
  cantor kısaca demiştir ki: "ben bir kümenin elemanlarını bire bir ve örten bir biçimde, doğal sayılarla eşleyebilirsem, o zaman bu küme "sayılabilir bir küme" olur. terimin kökeni gayet anlaşılır, biz bahsi geçen "doğal sayılar"ı zaten "sayma" eylemi için kullanıyoruz. (sayma eyleminde "0" kullanmayız aslında ama o ayrı bir konu). bu kısa ön bilginin ardından, "sayılabilr sonsuz" ile "sonsuz odalı otel" senaryosunu bir arada verelim ve bir çocuğun yaklaşabileceği kadar basit yaklaşalım olaya:
  
  * {1, 2, 3,...} biçiminde yazdığımız kümenin sayma sayıları kümesi olduğunu biliyoruz. şimdi şu soruyu soralım: "sayma sayıları kümesinin sonsuz elemanı var. bu kümeye, "0" elemanını (ya da başka bir elemanı) katsak, elde edilen yeni kümenin eleman sayısı ne olur ?"
  şu kümeyi elde ettik, {0, 1, 2,...}, yani doğal sayılar kümesini. tabii ki eleman sayısı yine sonsuzdur. "sonsuz odalı otel" probleminde bu;
  "müşteriler yerleştikten sonra, otele bir müşterinin daha gelmesi" durumuna tekabül ediyor.
  buradan çıkarılacak sonuç: sonsuz = sonsuz+1. genel hali ise: sonsuz = sonsuz + n
  
  * peki {...,-2, -1, 0, 1, 2,...} kümesinin eleman sayısı nedir ? çünkü, zaten bunu yarısı olan kümemizin eleman sayısı sonsuzdu.
  yanıt yine sonsuzdur. yani sonsuzu iki ile çarparsanız yine aynı sonsuzu elde edersiniz, çünkü sonuç olarak "sonsuz" bir sayı değildir... bu durum ise problemde şu şekilde yer alıyor:
  "otele, her birinde sonsuz müşteri olan iki otobüs gelirse; bu müşterileri, odalara nasıl yerleştirirsiniz ?"
  sonuç: sonsuz = 2 x sonsuz veya genel haliyle: sonsuz = n x sonsuz
  
  * gelelim rasyonel sayılar kümesine, yani kısaca kesirlere. soru şu:"rasyonel sayılar kümesinin eleman sayısı nedir ?" ve belki anlaması, diğerlerine göre daha zor olan kısım burasıdır. bunun yanıtı ilk düşünüldüğünde, "sonsuz x sonsuz" olabilirdi. çünkü 0 ile 1 arasında sonsuz sayı vardır ve bu aralığı istediğimiz kadar bölebilir ve yeni rasyonel sayılar elde edebiliriz. sonsuz adet 1 birimlik aralıkta, yine sonsuz sayı olduğundan yola çıkılarak veriliyor bu yanıt. [bu kısmı daha iyi anlayabilmek için şu entry'ye bir göz atmanızı öneririm (bkz: sayı doğrusu/#20696313)]. yanıt doğrudur da, elde edilen niceliğin yine aynı sonsuz olduğu yanıtını anlamak için buradaki yerleştirme olayına bakalım. bu sorun, problemde şu şekilde ifade ediliyor:
  
  "her birinde sonsuz müşteri olan sonsuz otobüs gelirse: bu müşterileri, odalara nasıl yerleştirirsiniz ?"
  1. otobüsteki müşteri, 2'nin kuvvetleri olan odalara (yani = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... no'lu odalara
  2. otobüsteki müşteriler, 3'ün kuvvetleri olan odalara, (yani = 3, 9, 27, 81, 243, 729,... no'lu odalara
  3. otobüsteki müşteriler, 5'in kuvveti olan odalara , (yani = 5, 25, 125, 625,... no'lu odalara
  
  yerleştirilir ve bu şekilde devam edilirse, sonsuz adet otobüsün her birindeki, sonsuz adet yolcu otele yerleşebilir. buradan çıkarılacak sonuç ise "sonsuz = sonsuz x sonsuz" olur. yani eleman sayısı yine aynı aslında. sonuç olarak tüm bu kümeler, "aleph 0" olarak adlandırılmış olan niceliğe karşılık geliyor.
  
  tabii ki, buraya kadar olan kısım, henüz başka bir sonsuzun varlığını ortaya koymadı. ama bunun hali hazırda yazılmışı varken benim daha fazla lâf ebeliği yapmam yerinde olmaz: (bkz: köşegen yöntemi)
• bu gece cantor'a mezarinda takla attiran kavram.
  
  - amina koyayim ben o kosegeni boyle sikgo sikgo konusun diye mi cektim? dur iki tane de ters takla atayim, rahat edemedim. :/
  
  duzeltme: cantor mezarinda takla atmis midir, bilmiyorum. atmamistir herhalde. yalniz bu entry'de bi cesit takla var. onu not dusmeden gecmeyeyim.
• kardinalitesi alef 0 olan kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir.
• boştan farklı bir küme kendi öz alt kümesi ve doğal sayılar kümesi ile eş güçlü ise sayılabilir sonsuzdur.
• sonsuz odalı otelden faydalanarak tam sayilar kumesinin sonsuz oldugunu gosterelim:
  
  sonsuz odali otelin numaralari : {1,2,3,4...}
  
  tam sayilar: { ....,-n,...,-3, -2, -1} u { 0 } u {1, 2, 3,..., n, ...}
  
  simdi negatif tam tamsayilari sonsuz odali otelimizin tek sayilariyla bire bir ve orten olacak sekilde yerlestirelim.
  
  -1 ---> 1
  -3 ---> 3
  -5 ---> 5
  .
  .
  .
  -n ---> n
  .
  .
  .
  
  simdi de pozitif tam sayilari sonsuz odali otelimizin cift sayilariyla bire bir ve orten olacak sekilde yerlestirelim.
  
  1 ---> 2
  2 ---> 4
  3 ---> 6
  .
  .
  .
  n ---> 2n
  .
  .
  .
  
  0 da hotelin zemin katindaki odaya gidebilir.^*
  
  0 ---> 0
  
  z ^* --> n ^*
  
  boylelikle, tam sayilar kumesinin sonsuz odali otelinin numaralari yardimiyla sayilabilir sonsuz kume oldugunu gostermis oluruz.
• yazar olan yobaz. (bkz: engelle)
• tam sayilar (...,-2,-1,0,1,2,...) sayilabilir sonsuz bir kumedir.
• "sayının karnı toktur böyle mevzulara. sonsuz hşştt..."
  * tatlantis yazıtları, bize sıfırı sayıyla mı verdiler bölümü