russell paradoksu

• "bir koyde bir berber varmis, sadece kendi sacini kesemeyenlerin sacini kesermis. bu berber kendi sacini kesebilir mi?" diye bir paradoks.
• ta ilkokuldayken ortaya attığım, "'allah'ım sen benim hiçbir duamı kabul etme' diyen adamın duası kabul olur mu?" sorusuyla farkında olmadan kurduğum paradoks. etrafımda muhatap bulamayınca ben de cevabı aramaktan vazgeçmiştim bir süre sonra.
• bu paradoksa benzer bir paradoks olarak yamyam paradoksu da ornek verilebilir.
  
  yamyamlar bir mantikci(?!) yakalarlar ve soyler derler:
  
  - biz her yakaladigimiz yabanciyi yeriz. kimini haslayip, kimini kizartip yeriz. avimiza bir soru sorariz. avimiz soruyu dogru yanitlarsa haslariz, yanlis yanitlarsa kizartiriz.
  
  dedikleri gibi de yaparlar. mantikciya bir soru sorarlar. mantikci bir sure dusundukten sonra soruyu yanitlar. diyalog asagidaki gibidir:
  
  - seni haslayip da mi yiyecegiz, yoksa kizartip da mi yiyecegiz?
  -- kizartacaksiniz!
  
  bu soru ve mantikla, mantikci ne haslanir ne de kizartilir..
  
  mantikcinin kizartilacagini varsayalim. o halde mantikcinin yaniti dogru olur. ama yanit dogru oldugundan, yamyamlarin kurallarina gore, haslanmasi gerekmektedir. dolayisiyla mantikci kizartilamaz.
  
  bir de mantikcinin haslanacagini varsayalim. o halde de mantikcinin yaniti yanlis olacaktir. yanit yanlis oldugundan da kizartilmasi gerekmektedir. demek mantikci haslanamaz.
• ingiliz matematikçi filozof bertnard russell'in 1902 yılında alman matematikçi frege'ye yolladığı mektup ile ortaya attığı paradoks. frege'nin yazdığı "aritmetiğin temelleri" adlı eseri çok beğenen tıfıl matematikçi russell kağıda beğenilerini döşenip yolladığı mektubun içerisinde yakaladığı paradokstan bahsetmiştir. hayatını bu kitabı yazmaya adamış frege için büyük, tarifi zor olan bi kapak olmuştur. işin kötüsü mektup kitabın devamını yazıp bitirdiği sırada tam yayına hazırlarken gelmiş garibana. cevap mektubunda bu hayal kırıklığını şöyle bildirmiştir russell'a:
  
  "bulduğunuz çelişki beni çok büyük şaşkınlığa - belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur - uğrattı, çünkü, aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı.
  bana öyle geliyor ki [...] beşinci kuralım yanlış (20. bölüm, sayfa 36),
  31. bölümde sunduğum açıklamalar yeterli değil. durum öylesine ciddi ki, 5. kuralın
  yanlışlığı , salt öne sürdüğüm temeli sarsmakla kalmıyor, galiba aynı zamanda aritmetiğin sağlam bir temele dayandırılamayacağını da gösteriyor."
  
  kitabı baştan yazmaya yeterli vakti ve gücü olmayan frege ikinci kitabın sonuna bir son söz ekleyerek paradokstan bahsetmiştir.
  
  russell paradoksu kısaca şöyledir;
  
  küme kavramı yunanlılardan beri kullanılan bilinen bir kavram olmakla beraber daha sonra alman matematikçi georg cantor kavrama matematiksel terimlerle bir açıklık getirmiştir. yine de bir nesnenin kendi başına küme olabilmesi daha bir koşula bağlanmadığı zamanlardan bahsediyorum. yani açıkçası matematikçilerin
  -ha lan küme işte sikko bişey diyerek pek siklemedikleri kafa yormadıkları bakir bir kavram denilebilir. bu paradoks ortaya çıkana kadar her önüne gelene küme demek adet olmuş, terbiyesizlik yapılmış, adam olunmamıştır. tam sayılar kümesi, çift sayılar kümesi, armutlar, sarışınlar kümesi, esmerler, kızıl saçlılar, yuvarlak memeler, oval kalçalar -uuu beybi güzel bi hareketlenme oldu..-
  
  genel kullanıma göre her topluluk genel bir küme oluşturma kapasitesine sahiptir. hatta kümeler topluluğu bile. aritmetiğin zırt dediği yerde bu noktada ortaya çıkmıştır.
  
  zira bir küme ele alalım. bu kümenin elemanları farklı özellikte başka bir küme de meydana getirebilir. eğer bu küme bütün kümeleri içerirse tüm kümeler kümesi olur ve yine kendi kendisinin bir alt kümesi olur.
  
  mesela güzel kızlar kümesini ele alırsak lokomotif gülşen, çıtı pıtı birsen, cici bici ebru, esmer banu da elemanları olsun. burda güzel kızlar kümesinin elemanları bu fıstıklardan oluşuyor ama "güzel kızlar" kendisi bir güzel kız değil ,bir sıfat, isim her neyse.. ama bir öğe değil. şartlar böyleyken de küme kendisini içeremiyor. burda yeni bir küme elde ettik "kendini içermeyen kümeler kümesini"
  
  şimdi soru şu "kendini içermeyen kümeler kümesi" kendini içerir mi?
  
  içerir desek olmaz kendini içermiyor, içermez desek olmaz kümenin öğelerini seçtiğimiz kurala göre kendini içermesi lazım. her iki durumda da bir can sıkıntısı, sikişsel bir açmaz, bir çelişki elde ettik.
  
  paradoksu da ortadan kaldıran yine (bkz: tipler kuramı) ile bertrand russel'ın kendisi olmuştur. bu kuram ile russell kümeleri derecelendirmiştir. mesela üçüncü dereceden bir kümeyi tanımlamak için ancak birinci ve ikinci dereceden bir küme kullanılabilir. böylece en başta sözü edilen tüm kümeler denen zırvalık ortadan kalkar.
• paradoksa neden olduğu için köy kahvesinde sürekli yancı yapılan berbere destek: berberin varlığını reddetmek istemeyen türkiye kanarya seven berberler derneğinden gelen açıklamada, söz konusu berberin tamamen kel olduğu açıklandı.
• axiomatic set theory, bu paradoksu aşabilmek için set (küme) kavramını (mantıksal olarak) önceleyen sınıf kavramını ortaya atar. bu sınıflar "proper class" (harbi sınıf?) ve "set" olmak üzere iki türdür. setler, tanım gereği, bir başka sınıfın (prop ya da set) elemanıdırlar, proper sınıflar degildir. teorinin aksiyomlarina göre russell kümesi de bir set değil bir proper sınıftır ve böylece paradoks ortadan kalkar. (evet böyle anlatınca biraz tuhaf ve karmaşık ama var yani böyle bişey).
• formal olarak yazarsak;
  
  e'yi "elemanidir", e!'yi "elemani degildir" isareti olarak kabul edelim.
  a = { x | x e! x } kumesine bakalim.
  iki secenek var,
  (1) a e a. bu durumda by definition a e! a. olmadi.
  (2) a e! a. bu durumda by definition a e a. yine olmadi.
  
  paradoks burda. paradoks nasil cozulur? boyle bir a olamaz, yani bu a bir set degildir. halbuki eger "universal set", yani her bir seyi iceren bir kume olsaydi (diyelim u), principle of selection'a'ya gore, bunu define edebilirdik a = { x e u | x e! x }. demekki universal set yok.
  
  buna gore direkman cantor'un "eger insan dilinde aciklanabilecek bir f(x) propertysi varsa a = { f(x) } diye bir set vardir" onermesi de yanlis olur, cunku property'i x=x diye secersek direk universal sete variriz.
• olmaz ööle şey die paradox a verilen cevap, kişi iki ayrık kümenin aynı anda elemanı olamaz, bakınız ikinci bir paradox kendini de içeren bir kütüphane fikstürü varolamaz hani içindekiler baabında
• ünlü filozof ve matematikçi bertrand russell'in 1901 yılında, henüz 28 yaşındayken ortaya attığı, matematiğin çelişkilerden arınmamış olduğunu göstermesi nedeniyle dönemin matematikçilerini derinden sarsan, kendi kendine referans yapan tümcelerden kaynaklanan taklalar nedeniyle ortaya çıkan paradoks. daha sonraları russell, bu garip taklaları engellemek için tipler kuramı'nı geliştirmeye başlamıştır. ancak 1931'de kurt gödel'in tamamlanmamışlık teoremi'ni (bkz: incompleteness theorem) ortaya atması, russell'in projesinin sonunu getirmiştir.
• küme aksiyomlarına (şu anda hatırlyamadığım) bu paradoksu ortadan kaldıran yeni bir aksiyom eklenmiştir, ve bu "paradoks" paradoksluktan çıkmış, "kendi kendini içermeyen kümeler kümesi" 'nin olamayacağının kanıtı haline gelmiştir. matematik her zamanki gibi yine tutarlıdır. hatalı olan insandır.