• ali ülger'e göre derinlik ve önem açısından görecelik teorisi ve belirsizlik ilkeleriyle aynı seviyede olan teoremlerini, yine kendisinin verdiği örnekle ve kullandığım geniş alıntılarla, benim gibi kafası allak bullak şahıslar için daha da açarsak:

    matematiğin tümünü dünya, aritmetik gibi bir kısmını da türkiye olarak düşünelim. amacımız türkiye'ye bir anayasa oluşturmak. bu anayasanın üç temel ilkesi olmasını bekliyoruz:

    a) tutarlılık: anayasanın bir maddesi geri kalanlarıyla çelişmemeli.

    b) bağımsızlık: anayasanın her maddesi geri kalan maddelerden bağımsız olmalı, onların sonucu olarak elde edilememeli.

    c) tamlık: anayasa, meclisten geçen her yasa anayasanın hükmü altına girecek şekilde, kapsamlı ve tam olmalı. dolayısıyla anayasa mahkemesine götürülen herhangi bir yasa hakkında, anayasa mahkemesi görevsizlik kararı verememeli.

    bu ilkeler bizce makul ve her anayasın sağlaması gereken ilkeler olarak görülebilir. ve lakin gödel böyle düşünmüyor. ona göre bu ilkeleri sağlayan bir anayasa yapmak mümkün değildir. yapacağımız anayasalar ya tutarsız ya da tam olmayacaktır.

    başka bir ifadeyle, ilk iki ilkeye uyan hangi anayasayı kabul edersek edelim, meclise öyle bir yasa önerisi verebilirim ki, bu öneri yasalaştığı ve muhalefet de onu anayasa mahkemesine götürdüğü zaman, anayasa mahkemesi bu yasanın anayasaya uygun olduğunu da söyleyemez, uygun olmadığını da. bu da yaptığımız anayasanın tam olmadığını manasına gelir.

    matematiğe dönecek olursak, gödel’in teoremi, matematiğin aritmetik gibi bir bölümünü nasıl bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalım, aksiyom sistemimizin tutarlı olması koşuluyla, tamlık ilkesini sağlayacak şekilde o bölümü aksiyomatikleştirmemiz mümkün değildir diyor. yani, aksiyomlarımızın dışına çıkmadan, aksiyomlarımız tutarlı iseler, doğruluğunu da yanlışlığını da ispatlayamayacağımız bir önerme üretmenin her zaman mümkün olduğunu ifade ediyor.

    klasik mantığın temel ilkelerinden biri şöyle der: bir önerme ya doğrudur ya da yanlış; aynı zamanda doğru ve yanlış yahut başka bir şey olamaz. ki paralel olarak gödel’den önce; verilen her önermenin, bu gün beceremesek bile, eninde sonunda doğruluğunun ya da yanlışlığının ispatlanacağı yönünde derin bir inanç vardı. gödel’in gösterdikleri işte bu inancı yıktı.
  • gödel her ne kadar matematikte dönüm noktası sayılan çalışmalar yapmışsa da aslında üniversite öğrenimine kuramsal fizik alanında başlamıştır. nitekim ileriki zamanlarda einstein* ile gelişen dostluğunda bu daha fazla ön plana çıkar, keza einstein’ın teorilerini incelediği vakit başka evrenlerinde olabileceği sonucuna varmıştır.

    gödel oldukça titiz bir insandır; amerikan vatandaşlığına başvurmaya karar verdiği zaman her şeyde yaptığı gibi bütün amerikan anayasasını incelemiştir, vardığı sonuç ise anayasada mantıksal bir kusur bulduğu ve amerikanın ilerde bir diktatörlüğe dönüşebileceğidir. nitekim vatandaşlık başvurusunda şahidi olacak olan oskar morgenstern’i arar ve tüm bunları anlatır. fakat oskar morgenstern yargıçla olan görüşmesinde bundan bahsetmemesini söyler. rivayete göre; ertesi gün diğer şahidi olan einstein ile görüşmeye gidilir, yargıç gödel ile görüşürken arada avusturya’da ki diktatörlük rejiminden dem vurup yüce amerikan demokrasisinden söz edince gödel kendini tutamaz ve bir gün önce vardığı sonuçtan bahsetmeye başlar, gödel coşmuştur artık, tutana aşk olsun! neyse ki einstein, oskar morgenstern ve yargıç araya girer de gödel yatıştırılır. ayrıca küçük bir dipnot:
    saygın avusturyalı iktisatçı oskar morgenstern avusturya dışişleri bakanı bruno kresisky’ye yazdığı mektupta hakkında şunları yazar;
    “gödel’in dünyanın yaşayan en büyük mantıkçısı olduğuna dair kesinlikle kuşku yok, aslında hermann weyl ve john von neumann gibi seçkin düşünürler, onun kesinlikle leibniz’den, hatta aristoteles’ten bu yana en büyük mantıkçı olduğunu ifade etmekteler. viyana üniversitesinin tüm tarihi boyunca öğretim görevi üstlenmiş hiç kimsenin adı gödel’in adını gölgede bırakabilmiş değildir… einstein bir keresinde bana, kendi çalışmasının kendisi için artık pek fazla bir anlam ifade etmediğini ve enstitüye yalnızca gödel ile birlikte eve kadar yürüme ayrıcalığını yaşamak için geldiğini söylemişti.”
  • kurt gödel. 1931'de yayınladığı incompleteness teoremi ile (kesinlikle her aksiyomatik sistemin değil)* aritmetiği içeren bir aksiyomatik sistemin tutarlı ise içinde doğruluğu yanlışlığı kanıtlanamayan (undecidable) önermelerin bulunabileceğini, karar verilemez önermeler içerdiği için sistemin tutarlı ise -undecidable önermeler peşpeşe sisteme eklense bile- tam olamayacağını; sistemin* kendi tutarlılığını ispatlamaktan aciz olduğunu ve undecidable önermelerin doğruluklarının ancak metamatematiksel çıkarımlar ile görülebileceğini(ancak ispatlanamayacağını) ispatlayıp mantıkta yeni bir çağ açmış filozof, mantıkçı ve matematikçi. evet, hepsi birden.

    yanlış anlaşılmaya mahal vermemek için: sonsuz sistemin sonlu sistem içine izdüşülüp izdüşürülemeyeceğidir problematik olan. hilbert ve gödel'in uğraştığı sistemlerde kanıt kavramı sonlucudur. yoksa "sonsuzötesi tümevarım" kullanarak aritmetiğin tutarlılığı gösterilebilmiştir. (bkz: matematiğin sağlamlığı/#402905) öte yandan wkl0 gibi bir sistemde çok sağlam matematik teoremleri de sonlucu(hilbertçi) anlamda kanıtlanabiliyor. bu gelecekte hilbert'e dönüş anlamına gelebilir..
  • 14 ocak 1978'de açlıktan ölmüş matematikçi. yanlış anlaşılmasın. yaşarken değeri bilinmemiş değildir. bolluk içinde açıktan ölmüştür. takıntıları giderek artmış, sonunda da beni zehirleyecek diye tırsıp, yemeklerini önce karısına tattırmaya başlamıştır.* ancak bir ara karısı adele, hastalanıp altı aylığına hastaneye yatırılmıştır.* gödel, karısının hastahaneden çıkmasını beklerken, risk almayıp (!) yemek yememiş. ölü bedenini tarttıklarında 30 kilogram gelmiş* kadın o kadar uzun hastalanmasa daha yaşarmış yani. (bkz: her başarılı erkeğin arkasında bir kadın vardır)
  • doğru olduğu halde, kanıtlanamayacak teoremler olduğunu kanıtlayan matematikçi
  • ah be godel, kendini okult'e cthulhu'ya vermeyeydin ne olurdu be abi? leibniz demissin, platonizm demissin, materyalizm yanlistir demissin, devamini getireydin, felsefi sistemini kuraydin da schopenhauer okuyup karamsarlasmakla kalmayip, seni de okuyup anlam bulaydik sevineydik azcik? fena mi olurdu be? bu arada, esin adele, "godel, kiliseye gitmemesine ragmen, dindardi ve her pazar sabahi yataginda incil okurdu" demis, sen de "lutheranim (ama herhangi bir cemaatin uyesi degilim). inancim panteistik degil, teistik; spinoza'dan ziyade leibniz'i izliyor." demissin bi ara.. da ah be abi, daha cok felsefe yazaydin, daha bi detayli anlataydin dusuncelerini/inanclarini keske..

    [simdilik godel'e ait olan su listeyi kopyalayayim, bi ara vakit olursa ceviririm]

    1. the world is rational.
    2. human reason can, in principle, be developed more highly (through certain techniques).
    3. there are systematic methods for the solution of all problems.
    4. there are other worlds and rational beings of a different and higher kind.
    5. the world in which we live is not the only one in which we shall live or have lived.
    6. there is incomparably more knowable a priori that is currently known.
    7. the development of human thought since the renaissance is thoroughly one-dimensional.
    8. reason in mankind will be developed in every direction.
    9. formal rights comprise a real science.
    10. materialism is false.
    11. the higher beings are connected to the others by analogy, not by composition.
    12. concepts have an objective existence.
    13. there is a scientific (exact) philosophy and theology, which deals with concepts of the highest abstractness; and this is also most highly fruitful for science.
    14. religions are, for the most part, bad—but religion is not.

    edit: "bi ara vakit olursa ceviririm"?? bu ne lann?? cok mesgulmus gibi?? vaktine, tribine sicayim flexi.
  • aristo'dan sonra mantığın ikinci babası da denir. matematiksel mantık söz konusu olduğunda tek geçeriz. kısa bir matematik tarihi özeti şarttır anlamak için.

    önce babilliler, mısırlılar ve diğer ortadoğu halkları vardı ve matematik pratik problemleri çözmek için uygulanan pratik bir uğraştı. şu şekilde bir bölgenin alanını hesaplamak için şu formül kullanılır gibi. bu formülleri bir ispatlama ihtiyacı hissettilerse de bunu kayda geçirmediler.

    yunanlar ortadoğululardan çok şey öğrendiler, biri de matematikti. ama yunanlar öncekilerden farklı olarak önlerine konan formüller için peki de bu niye doğru diye sormaya başladılar. yeni formüller eskilerden mantık yoluyla çıkarsanmaya başladı ve bu mantıksal çıkarsamalar, yani ispat kayda geçirildi.

    fakat ben bu yeni formulü ispatlamak için kullandığım eski formülün doğru olduğunu nerden biliyorum? bu soruyu arka arkaya sorarak matematiksel evren hakkında bildğimiz her şeyi sorgulayabiliriz. ama bir yerde bir şeyleri ispatlamadan, sadece sezgilerimizle bildiğimizi varsaymazsak hiç bir yere varamayız. öklid geometrideki tüm teoremleri damıtıp bir avuç sezgisel gerçeğe, yani aksiyoma indirdi, mesela bir aksiyom der ki iki noktadan tek bir doğru geçer, diğeri de der ki bir doğruya dışındaki bir noktadan tek bir paralel çizilebilir. bu aksiyomları doğru kabul ediyoruz, gerisini bunları kullanarak ispatlıyoruz.
    bu ikinci örnek aksiyom nesiller boyu matematikçinin aklını kurcaladı. acaba biz bunu diğer aksiyomlardan ispatlayamaz mıyız diye uğraşıp durdular. 19. yüzyılın başında ispatlanamayacağı anlaşıldı ve öklid dışı geometriler de matematiğin bir parçası haline geldiler. ama daha da önemlisi matematiğin temelinin aksiyomlar olduğu, aksiyomları değiştirerek değişik evrenler tanımlayıp değişik matematiksel sonuçlar elde edilebileceği fikri yaygınlık kazandı.

    19. yüzyılın sonlarına geldiğimizde benzer yaklaşımlar matematiğin geometri dışındaki alanları için de oluşturulmaya çalışılıyordu. haydi şimdiye kadar yapageldiğimiz tüm matematiği herkesin üzerinde anlaşabileceği aksiyomlara indirgeyelim. tüm matematik formel sistemlerin çalışması olsun. burada russel paradoksu kümeler teorisinde bu işlerin çok kolay olmadığını gösterdi. "kendi kendinin üyesi olmayan kümelerin kümesi" diye bir şeyden bahsedemeyeceğimizi anladık.

    formel sistemlerde herhangi bir aksiyomlar kümesiyle başlıyoruz. matematiksel doğrular da bu sistem içersinde doğruluğu kanıtlanabilir önermeler bütünüdür. sistem içinde kısmı önemli, oraya geri gelecez. aksiyomlar içinde yaşadığımız evrenle alakalı olabilir de olmayabilir de. tek şartımız aksiyomlar tutarlı olsun. tutarlılık bu aksiyomları kullanarak bir önermenin hem kendisini hem de tersini ispatlayamıyor olmak demek. ispat dediğin ise aksiyomlarla başlayıp mantıksal çıkarsama kurallarını takip ederek istenen önermeye varma işlemidir.

    matematiğin formel bir sisteme inip inemeyeceği tartışılırken david hilbert melektaşlarının önüne bir hedef koydu. aslında pek çok hedef koyarak 20. yy matematiğini epey şekillendirdi kendisi ama biz birine odaklanıyoruz: şimdiye kadar yaptığımız matematiğin tutarlı olduğunu ispatlayabilir miyiz? yani öyle bir mantıksal çıkarsama zinciri kuracağız ki bu bize matematiğin alışılagelmiş aksiyomları ile hiç bir zaman bir teoremin hem kendisine hem de tersine ulaşılamayacağını gösterecek. bununla alakalı bir diğer soru ise peki seçtiğimiz aksiyomlarla aritmetik, geometri analiz vs gibi alanlarda doğru olan her önermenin ispatlanabileceğini nerden biliyoruz?

    işte gödel bu noktada sahneye çıktı. akıl alır gibi değil ama tuttu hilbert'in peşinde koştuğu yukardaki tutarlılık iddiasının ispatlanamayacağını ispatladı. düşüncesi bile tüyler ürpetici, bakın hilbert sade bir ispat istemiyor, var olan tüm formel (sistem içi) ispatların bizi bir çelişkiye ulaştırmadığını ispatlamamızı istiyor, gödel ise hilbert'in istediği ispatın var olmadığını ispatlıyor, ve dahası hilbert'in umduğunun aksine birkaç aksiyomla aritmetikteki tüm doğrulara formel mantıksal çıkarım yoluyla ulaşamayacağımızı da gösteriyor, yani formel yaklaşım hiç bir zaman tüm matematiksel gerçekliği kapsayamaz.

    gödel'in ispatının altında bir paradoks yatıyor, şu yukardaki kümeler teorisinin paradoksu gibi. tüm paradokslar bir çeşit kendine gönderme içerir, gödel'in metodolojisi de bu kendine göndermeyi aritmetiğin içine kodlamak. detayları yorucu, ama özet anafikir çok zorlanmadan anlaşılabilir.

    1) önce aritmetik yapmakta kullandığımız dili ve mantıksal önermelerin dilini kodluyoruz. +, *, (, "for all", "there exists", gibi sembollerle sayılar arasında birebir bir eşleme yapıyoruz.
    2) sonra bu dilde yazılabilecek her önermeye içinde geçen sembollere bakarak bir nümerik değer hesaplıyoruz. bu da birebir bir eşleme oluyor, yani sayı verilince önermeyi, önerme verilince sayıyı bulabiliyoruz.
    3) sonra ispat kavramını aritmetikleştiriyoruz. her ispat içinde aksiyomlar ve mantıksal çıkarsamalarla bulunmuş diğer önermeler olan bir önermeler zinciridir. önermeleri sayılarla eşlediğimiz metodolojiyi genişleterek her önermeler zincirine de bir sayısal değer vermek mümkün.
    4) burdan sonraki adım siz bana bir matematiksel önerme verdiğinizde öyle bir önerme yazmak ki bunun bu metodolojide çevirisi: öyle bir önermeler zinciri vardır ki aksiyomlarla başlar, mantıksal çıkarım kurallarını takip eder, ve verilen önermede biter. yani verdiğiniz önermenin geçerli bir ispatı vardır diyen önermeyi yazabileceğimizi ispatlarız.
    5) zurnanın zart dediği yer: gödel bu kadar altyapının üzerine "benim ispatım yok" diyen önermeyi yazar önümüze koyar.

    eğer gödel'in önermesini ispatlayabiliyorsak matematikte çelişki bulduk. eğer ispatlayamıyorsak doğru olduğu halde ispatlanamayan bir önerme bulduk. işin kötüsü bu önermeyi aksiyom kabul edip sistemimize dahil bile etsek bu dertten kurtulamıyoruz çünkü gödel'in yaptıklarını yeniden bu yeni system için yaparak bu yeni sistemde de aynı anlama, yani "benim ispatım yok" anlamına gelecek bir önerme yazılabilir. bunun da anlamı aritmetikteki tüm doğru önermelere sonlu sayıdaki aksiyomla başlayarak ulaşamayız.

    meraklısına not: aslında gödel'in teoremleri burada aktardığımdan daha da güçlü sonuçlar, ben biraz basitleştirerek anlattım.
  • inanci hakkinda, bir c++ kodcusunun yorumu:

    "godel, <t>he generic theist. i, concur."
  • ufak manifestosundaki "dunya rasyoneldir." (the world is rational) maddesi kur'an'daki "biz her seyi bir olcuye gore yarattik." vurgusunu hatirlatir (furkan:2, rad:8, kamer:49). zira 'rational' kelimesinin kokeni 'ratio', yani 'olcu'dur. ve bildigim kadariyla arapca 'kader' kelimesinin temel anlami da 'olcu'ye tekabul eder (olcu, miktar, deger).

    duzeltme: godel maddeleri almanca'da yazdi ise 'rationeel' yerine 'vernünftig' gibi bi kelime de kullanmis olabilir (almanca mi yazmis, hangi dilde yazmis onu da bilmiyorum). bir bakmak lazim. gerci ceviri uzerinden olsa dahi boyle bir paralelligin gorulmesi hos, yine de.

    duzeltme 2: muhtemel orijinal almanca kelimeyi duzelttim.

    duzeltme 3: (yazmadan icim rahat edemedi) almanca bilmiyorum. biliyormus ayagina yatmis gibi gozukmeyeyim. 'ayagina yatmak' da ne tuhaf deyim (turkce biliyorum, neyse ki).

    duzeltme 4: entry "rasyonele ovgu" noktasina dogru gitmis. sentaktik sayilabilecek bi baglantidan bu sekilde gaza gelmenin sonuclari makul olmayabilir. o yuzden, onlemimizi alalim: (bkz: gazali/#55546065)
  • "... diger yandan godel'in salt felsefe alanindaki calismalari yillarca yayimlanmadiklari icin pek bilinmezler. oysa godel hayatinin onemli bir bolumunu felsefe sorunlarina adamis ve varlikbilgisel bir kuram olusturmaya calismistir. kuramini bir tur monadoloji - leibniz'inkine benzeyen ama merkezinde tanri'nin oldugu bir monadoloji - olarak betimlemis ve felsefi durusunun uscu, idealist, iyimser ve tanri bilgisi ugruna oldugunu korkmadan acikca dile getirmistir. godel leibniz'in goruslerinden izler tasiyan kuramini kantci elestirilere karsi koruyabilmek icin leibniz'i ve kant'i derinden incelemistir. daha sonra husserl uzerine yaptigi calismalarinda husserl'in gorungubilimini kant'a ve yeni kantciliga karsi bir umut olarak gormus ve daha da ileri giderek mantikci olguculuga yaptigi keskin elestirilerde husserlci bir bakisi rehber olarak bellemistir. olum sonrasi hayat ve tanri'nin varligi gibi daha geleneksel sorunlarla da ugrasan godel'in - ornegin godel'in ortacag filozoflarini hatirlatan turden bicimsel bir tanri kanitlamasi bile vardir* - asil tartisildigi alan hemen hep matematik felsefesi olmustur. godel matematiksel nesnelerin varligi* konusunda platoncu gercekciligi* benimsemis ve bu gorusu sonuna kadar savunmustur. zihin-beden ikiligini* de cekinmeden kabul eden godel, platoncu anlamda gercek olduguna inandigi bir matematiksel dunyanin bilgisine nasil erisebildigimiz sorusuna da yine cekinmeden bir tur 'matematiksel goru' * sayesinde oldugu yanitini vermistir. gunumuz zihin ve matematik felsefelerinde pek doyurucu bulunmayacak olsa da godel gibi buyuk bir dusunurun tavizsizce ortaya koydugu ilginc gorusleri cok dikkat cekicidir. godel'in yayimlanmis eserleri collected works of kurt godel (kurt godel'in toplu eserleri, 1995) adli derlemede bulunabilir..."

    -felsefe sozlugu, abdulbaki guclu - erkan uzun - serkan uzun - umit husrev yolsal
    [super sozluk ha bu, gidin alin somururcesine okuyun derim selam ederim]
hesabın var mı? giriş yap