bayes teoremi

• örnek vermek gerekirse, varsayalım ki,benim 3 tane kız arkadasım var; esmer, sarısın, kumral. ve öyle olsunki, ben %60 ihtimalle esmer, %30 ihtimalle sarışın ve %10 ihtimallede kumralla buluşucam. buna artı, diyelim ki, esmerle buluşursam %9 ihtimalle sevişicem, sarışınla buluşursam %20 ihtimalle sevişicem ve kumral ile buluşursam %6 ihtimalle sevişeceğim. önce sevişme ihtimalim yüzde kaç onu hesaplayalım ;
  0.6*0.09+0.3*0.2+0.1*0.06 =0.12
  şimdi de, eğer biriyle sevişirsem, bunun sarışın olma ihtimalini bulalım ki, bayes teoremi burda işe yarar ;
  (0.3*0.2) / (0.6*0.09+0.3*0.2+0.1*0.06) = (0.060) / (0.120) = 0.5
  
  demekki, bunlardan biriyle yatarsam eğer, bu yüzde oniki ihtimal, bunun sarışın olma ihtimalide yüzde elli.
• insana ilk baki$ta cok mantikli gelen ve uygulanabilir gibi gozuken cozumlerin bile aslinda cok kotu sonuclar verebilecegini gosterebilen, cok yararli bir teoremdir.
  
  hemen bir ornek verelim kaynagimizdan:¹
  
  kanser te$hisi icin yeni bir test geli$tirildigini varsayalim. kanserin insanlarda gorulme sikliginin binde 5 oldugunu varsayalim, bu test icin bize verilen bilgi de kanser hastasi olanlar uzerinde denendiginde 95% pozitif sonuc verdigi olsun.
  
  sorumuz $u, bu test guvenilir bir test midir?
  
  ilk baki$ta 95% mantikli bir rakam olarak gozuktugunden cogu ki$inin evet diyecegi bu sorunun yaniti bakalim madalyonun diger tarafinda da oyle mi gercekten.
  
  a = testin uygulandigi ki$ide pozitif sonuc vermesi (teste gore "kanser var")
  b = ki$inin kanser olmasi (teste gore degil, gercekten)
  
  bu durumda;
  a' = testin uygulandigi ki$ide negatif (temiz) sonuc vermesi
  b' = ki$inin kanser olmamasi
  
  bu durumda ba$ta verilen bilgileri kullanirsak;
  p[a|b] = p[a'|b'] = 0.95 (ki$i kanser(b) ve test uygulanmi$(a))
  p[b] = 0.005 (bir insanin kanser olma ihtimali, ya da kanserin rastlanma sikligi)
  
  bayes teoremi kullanirsak;
  
  p[b|a] = ( p[b]*p[a|b] ) / ( p[a|b]*p[b] + p[a|b']*p[b'] )
  = [(0.005)(0.95)] / (0.95)(0.005)+(0.05)(0.995) = 0.087
  
  yani neymi$, bu test biri uzerinde pozitif sonuc verdiginde aslinda o ki$inin kanser olma ihtimali 8.7%'ymi$. bu cok du$uk bir rakam oldugu icin test kullanilirsa cok fazla sayida yanli$ uyari meydana gelecegi icin test ba$arisizdir.
  
  not: ba$langicta verilen ve p[a|b] dedigimiz kavramla sonradan buldugumuz p[b|a]'nin kari$tirilmamasi gerekir. birincisi kanserli hastaya uygulanan testin verdigi sonuc iken ikincisi testin kanser te$hisi koydugu ki$ilerin gercekte ne kadarinin kanser oldugudur.
  
  (bkz: insan mantığı)
  ¹: probability and random processes, henry stark - john woods
• bir olayın meydana gelme olasılığının, olaya yonelik ek bilgi edinilmesi halinde nasıl değişeceğini gösteren teorem. baska bir ifadeyle orneklem uzayı a'dan b'ye daraldığında elde ettigimiz ek bilginin olasılıklar üzerindeki etkisini ortaya koymaktır.
  (bkz: kosullu olasılık)
  (bkz: bayesgil istatistik)
• cok kolay tek bir formul gibi gorundugu halde thomas bayes tarafindan sayfalarca suren ispati meshurdur. cok yararli bir formul.
• sınava girmeden önce formülü görülüp kolay ki bu denilen, sınav sırasında da "olur mu lan öyle şey sonra yapılan işin olasılığı öncekini etkiler mi hiç" diye kafa karıştıran teoremdir.
• marsec'in örneği `:(bkz: #9335095)` tıpta kullanılan tanı testlerinin ne kadar yanlış anlaşıldığına en güzel örnektir. buradaki asıl kitik bayesçi kavram test öncesi olasılığın o testin sonucuyla kaç kat arttığıdır (prior probability x likelihood ratio =posterior probability) ki tanı testi denilen şeyin bize verdiği bilgi de tam olarak budur. şöyle anlatayım. bu örnekte testin uygulandığı nüfustaki kanser olasılığı 0,005 fakat testi pozitif olanlarda ise kanser olasılığı 0.087 imiş (test sonrası olasılık(posterior probability)). bu kanserin adı x kanseri olsun. 0.087/0.005=17.4 olduğuna göre, bu testin pozitif olması test öncesi olasılığı 17'yle çarpıyor kabaca. şimdi diyelim ki biz bu testi herkese yapmıyoruz, sadece x kanserini düşündüren yakınmaları olan kişilere yapıyoruz ve diyelim ki x kanseri yakınmaları olan kişilerde x kanserinin bulunma olasılığı %3, bu durumda x kanseri düşündüren yakınmaları olan ve bu testin pozitif olduğu kişilerde x kanserine rastlanma olasılığı 0.3*17.4=0.522 yani %52 olmuş oluyor.
  demek ki naapıyoruz, sağlıklı kişilere gereksiz testler yapmıyoruz, sağlıklı bir kişiysek kendimize saçma sapan checkup yaptırıp anlamsız veri gürültüleri yüzünden canımızı sıkmıyoruz. sadece etkisi kanıtlanmış tarama testlerini etkisinin kanıtlanmış olduğu durumlarda kullanıyoruz. bize bu aklı veren thomas bayes'e de teşekkür ediyoruz.
  hadi hayırlı işler.
• sorduğun sorunun objeyi tanıma üzerinde ne kadar büyük etkisinin olacağını gösteren bir yaklaşımdır.
  
  kaplumbağa : yeşil ve katı
  zeytinyağı sabunu : yeşil ve katı
  bezelye : yeşil ve katı
  
  "bir kaplumbağanın yeşil ve katı olma özelliklerine sahip olma ihtimali nedir?" bu soru, gördüğüm objenin ne olduğuna karar verme açısından bana yardımcı olamaz.
  ama eğer dersem ki; "yeşil ve katı olan objenin kaplumbağa olma ihtimali nedir?" bu soru, karşılaştığım objeyi tanıma konusunda bana yardım eder.
• 18. yüzyıl ingiliz matematikçisi (bkz: thomas bayes)’in adını verdiği koşullu olasılığı belirlemek için kullanılan matematiksel bir formüldür.
  
  formülü şu şekilde: p(a|b) = p(b|a) . p(a) / p(b)
  example: bir araştırmaya göre her 43 çocuktan 1 tanesi, yetişkinlikte ortaya çıkan belli bir hastalığa yakalanmakta ve tam güvenilir olmamasına rağmen yapılan test sonuçlarına göre, hastalıklı bir çocuğun testi %80 pozitif, sağlıklı bir çocuğun testi ise %10 pozitif sonuç vermektedir. bu bilgilere göre test sonucu pozitif olan bir çocuğun gerçekten hasta olma olasılığı nedir?
  
  p(a) : çocuğun hasta olması olasılığı = 1/43
  p(b) : testin pozitif çıkması olasılığı = 1/43 * 0.80 + 42/43 * 0.10 = 5/43
  p(a|b) : pozitif çıkan testin hastalık çıkma olasılığı ( sorulan bu )
  p(b|a) : hastalıklı çocuğun testinin pozitif çıkma olasılığı = 0.80
  p(a|b)=p(b|a)*p(a)/p(b) => (0.80 * 1/43) / (5/43) = 0.16 = %16 bulunur.
• immanuel kant'in bayes teoremini elestirisi hk. (bkz: kritik der statistichen vernunft).
• çe$itli sebep veya kaynakların yalnız birinden doğacak bir olayın o sebep veya kaynakların herbirinden meydana gelmesi ihtimallerinin tespiti ile ilgili teoremdir.