uniform continuity ^*

• f fonksiyonu r^*'nin alt kümesi olan s kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun
  sıfırdan büyük bütün epsilonlar için sıfırdan büyük bir delta vardır,
  bütün x, y ler s'nin elemanıdır ve
  |x-y| < delta => | f(x) - f(y) | < epsilon ise
  f fonksiyonu uniformly continuous'tur
• uniform continuity => continuity
  edit: bir dikkatsizlik sonucu ifadeyi ters yazmışım. uyaranlara teşekkür ederim.
• 'süreklilik => düzenli süreklilik' bağlantısı olsun isteniyorsa çalışılan uzayın gompakt olması gerekir. epsilon-delta ile düzgün süreklilik analizi yaparak istenilen sonuca ulaşmak zordur çoğu zaman.
  
  (bkz: kompakt küme)
• iki metrik uzay arasinda tanimlanmis bir f fonksiyonu icin yapilan epsilon-delta surekliligi taniminda, delta sadece epsilonun degil ayni zamanda surekliligin saglandigi noktanin (tanim kumesindeki bir c noktasi mesela) fonksiyonudur. yani sureklilik belirli bir c noktasina gore tanimlanir (noktasal sureklilik):
  
  f fonksiyonu (m, d1) metrik uzayindan (n, d2) metrik uzayina dogru tanimli olsun. f fonksiyonunun m uzayindaki herhangi bir c noktasinda surekli olmasinin kosulu:
  
  her pozitif epsilon sayisi icin bir delta(epsilon,c) pozitif sayisi mevcuttur ve
  
  d1(x, c) < delta(epsilon,c) kosulunu saglayan m tanim kumesindeki her x noktasi icin d2(f(x), f(c)) < epsilon esitsizligi gecerlidir.
  
  eger f tanim kumesindeki butun noktalarda surekli ise surekli bir fonksiyondur.
  
  duzgun sureklilikte^* ise delta sadece epsilonun fonksiyonudur ve tanim kumesindeki noktalara bagli degildir.
  
  f fonksiyonu duzgun sureklidir: her epsilon > 0 icin bir delta(epsilon) > 0 sayisi vardir ve
  
  d1(x,y) < delta(epsilon) kosulunu saglayan m tanim kumesindeki butun x, y noktalari icin d2(f(x), f(y)) < epsilon esitsizligi gecerlidir.
• "every continuous function on a compact set is uniformly continuous"
  the heine–cantor theoremini akla getiren özellik.