metamatematik ^*

• metafizik oluyor da, niye meta matematik olmasin diye dusunen, kiskanc bir matematikcinin^* yaratisi.
• (bkz: metamatik)
• üst matematik. örneğin "bazı önermelerin doğrulukları principia mathematica kapsamında değerlendirilemez", principia mathematica'ya göre bir meta matematik önermesidir. önerme sistemin kendisini nesne olarak ele aldığı için sisteme göre bir üst mertebededir; meta ön ekini de buradan hak eder.
  
  matematikçilerin bazı teoremlerin geliştirilmesinde "x yanlıştır, öyleyse x'in değili doğrudur" gibi son derece akla yatkın görünen adımlar atarken bile bir yandan da matematik sisteminin kabullerinin dışına çıktıklarının farkında olmadıkları; bu sebeple ispatların ne kadarının aksiyomlardan, ne kadarının da meta-matematiksel önermelerden kaynaklandığının pek de bilinmediği gerçeği ortaya çıkınca, matematiği insan müdahalelerinden kurtarıp belirli aksiyomlar ve mantık ilişkilerine bağlamaya çalışan biçimsel matematik'e yönlenmiş matematikçiler (bkz: formel mantık). bu arayışın sonucunda devasa bir biçimsel matematik eseri ortaya çıkmış: (bkz: principia mathematica)
  
  insan aklına has örüntü tanıma, tümdengelim ve tümevarım araçlarından kaynak bulsalar da, meta-matematiksel önermelerin esasında aksiyomlar ve türetim kurallarıyla elde edilebileceği fikri hakimmiş matematikçiler arasında; ta ki gödel eksiklik teoremi ile ortaya çıkana kadar. bu teorem neticesinde anlaşılmış ki, herhangi bir aksiyomatik biçimsel sistemde karar verilemeyen önermelerin varlığı kaçınılmazdır. yani bir sistem tamamen "doğru" ve "yanlış" kavramları üzerine oturtulsa dahi, bazı önermeler ne "doğru", ne de "yanlış" olarak belirlenemez.
  
  gödel'in tekniği çok ilginç. herhangi bir önermeyi biçimsel sistemin kendi diline çeviren bir yöntem buluyor (bkz: gödel sayılaştırması). meta-matematiksel bir önermenin daha alt seviyedeki matematiksel sistem içerisine haritalanabilmesini sağlayan bu yöntemle hiyerarşi problemi ortadan kalkıyor. örneğin, "ben, principia mathematica'da ispatlanamam" gibi bir önermemiz olsun. bu önerme, meta-matematiksel bir önermedir, çünkü nesnesi principia mathematica'dır. bu önermeyi principia mathematica'nın, yani sayılar dünyasının diline çeviren gödel sayılaştırması tekniği sayesinde bu önerme sayılar arasında bir ilişki olarak değerlendirilebilir hale geliyor.
  
  geliyor da ne oluyor? önermenin sonucu "doğru" olarak bulunuyor. kendisinin ispatlanamayacağını savlayan bir önermeye principia mathematica destek veriyor, yani ona göre bu önerme 2+2=4 kadar "doğru" bir önerme (anlamını o bilmiyor, meta-matematikçi olarak biz biliyoruz). bir de, bu ifadenin değillemesini bu prosedüre sokuyoruz. mantığa göre ilk önerme doğru ise onun değillemesi yanlış olmalı. ancak, principia mathematica'ya göre bu değillemeli önerme de doğru olarak bulunuyor! o halde, "bu önerme ve onun değillemesi, principia mathematica kapsamında doğrulanabilir ifadeler değildir." sonucuna varıyoruz.
  
  meta-matematikçi olarak biz ifadenin doğru olduğunu görebilsek de (çünkü ifade savını doğrulayarak sistem içerisinde tam olarak ispatlanamaz olduğunu göstermiştir), aksiyomatik sistemimiz burada derin yara almıştır. zira biz onun insan aklına ihtiyaç duymadan, taş taş üzerine koyarak elde ettiği bir yapı (teoremler ağacı) üzerinde bir gün mutlaka insan aklıyla bulunmuş herhangi bir teoremi de bulabileceği umudunu taşıyorduk (bkz: david hilbert). ama görülüyor ki, meta-matematik ifadelerden bazılarının bu şekilde elde edilmesi mümkün değil.
  
  bu sonuçlar ortaya çıkınca, meta-matematik kavramları yaratabilen insan zihni, ruhsuz bir matematik otomatına göre üstünlüğünü yeniden kazanmış. insan mekanik bir sistemden daha fazla bir şey olarak görülmüş. bu rüzgarla beraber platonist ve akıllı tasarımcı akımlar yeniden hızlanmış...
  
  o zamanlar emergence'in ne olduğu bilinmiyor tabi. mekanik sistemlerin karmaşık bir şekilde bir araya gelerek, bileşenlerinin nitelikleri toplamından daha fazlasına tekabül eden bir sisteme yol açabilecekleri düşünülemiyor (bkz: gestalt).
  
  konunun uzmanı olmadığı halde uzun uzun atıp tutan bir vulpius entrisinin de sonuna geldik. bunlar magazindir efendim. en iyisi kaynağından okumaktır:
  
  (bkz: gödel's proof)
  (bkz: gödel, escher, bach)