• bir sayıyı alıp, 0'a veya başlangıç noktasına olan uzaklığına dönüştüren fonksiyondur. yani:

    |x|: "x'in, 0 noktasına olan uzaklığı" biçiminde de ifade edebiliriz. bu tanım, sayı doğrusunda, düzlemde ya da uzayda türlü türlü anlamlar taşısa da, tanımı değişmez. işbu entry, mutlak değer hakkında ulvi bilgiler vermekten ziyâde; şimdiye dek karşımıza gelen hâllerine bakarak, ezberlenecek bir şey olmadığını ve tanımın bilinmesinin yeterli olduğunu göstermeye yöneliktir. verilen tüm örneklerde sayı doğrusunu ve tanımın kendisini düşünmek yeterli.

    ========== örnek ==========
    * | 4|: "4'ün 0'a olan uzaklığı" = 4
    * |-7|: "-7'nin 0'a olan uzaklığı" = 7
    * | 0|: "0'ın, 0'a olan uzaklığı" = 0

    ilköğretimden kalma, "noolursa olsun pozitif çıkcak" klişesi bu örneklerde işe yarar görünse de; bir adım sonrası olan, değişken içeren eşitliklerde ve eşitsizliklerde hiçbir şey ifade etmeyecektir.

    ========== örnek ==========
    * |x| = 4 ise x hangi değerleri alabilir ?

    "|x| = 4" ifadesini, " bir sayının 0'a olan uzaklığı 4'tür" olarak çevirirsek; sayı doğrusunda, 0'a uzaklığı 4 olan sayıları düşünürüz. yanıt: 4 ve -4' tür.

    sayı doğrusu denen meret, 0'a göre simetrik olduğundan, burada:
    "acaba -4'ün 0'a uzaklığı 5 veya 3 olabilir miymiş ?" gibi sorulara gerek yoktur. bunu idrak etmenin en kolay yolu, (içinde negatif tamsayıların da olduğu) bir sayı doğrusu modeli çizip *, 0'ın yeri sabit kalacak şekilde, oluşturduğunuz modeli doğu-batı yönünde ters çevirmektir. göreceğiniz üzere, 4'ün olduğu yerde -4 var. -7'nin olduğu yerde 7 var vs...

    ========== örnek ==========
    |x|= -3 ise x hangi değerleri alabilir ?

    "|x| = -3" ifadesini, " bir sayının 0'a olan uzaklığı -3'tür" olarak çevirirsek; sayı doğrusunda, 0'a uzaklığı -3 olan sayıları düşünürüz. e tabii ki öyle dava olmayacağından ( uzaklık pozitif olmak zorunda olduğundan) bu ifadeyi doğru yapan hiç bir değer yoktur. demek ki x hiç bir değeri alamaz.

    ========== örnek ==========
    |x+4|= 7

    "x+4'ün 0'a uzaklığı 7 imiş. o zaman, mutlak değerin içinde tek başına duran ifade, yani "x+4" olarak adlandırdığımız sayını sıfıra uzaklığı 7. bu sayı ya 7 ya da -7 olabilir. bu durumda iki ihtimâl var:
    x+4 = 7 olabilir ve x = 3 bulunur. x+4 = -7 olabilir ve x = -11 bulunur.
    yanıt: 3 ve -11'dir.

    ========== örnek ==========
    |x+4| < 3
    "x+4'ün sıfıra uzaklığı 3'ten küçüktür". x+4'ü hiç karıştırmadan, "sayının 0'a uzaklığı 3'ten küçüktür" ifadesini düşünün. örneğin, 0'ın, 1'in, -2'nin sıfıra uzaklığı 3'ten küçüktür. bu koşulu sağlayan sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterecek olsaydık, -3'ile 3 arasındaki sayılar olurdu. dikkat edilecek olursa, bu aralıktan alacağınız herhangi bir sayının 0'a uzaklığı 3'ten küçük olacaktır. bu yüzden, bu vaziyeti şöyle ifade edebiliriz:

    -3 < sayı < 3 yani son haliyle; -3 < x+4 < 3 olur, ki bunun çözümünden de -7 < x < -1 sonucuna ulaşırız.

    ========== örnek ==========
    |x-4| > 3
    sayı doğrusunda, 0'a uzaklığı 3'ten büyük sayıları düşünüyoruz. yani ifade, "x-4'ün sıfıra uzaklığı 3'ten büyüktür" anlamına geliyor. x-4'ü hiç karıştırmadan, "sayının 0'a uzaklığı 3'ten büyüktür" ifadesini düşünelim. örneğin, -4'ün, -10'un yani, -3'ten küçük sayıların bu koşulu sağlayacağı açıktır. aynı şekilde sağ taraftan düşünürsek de, 4'ün, 7'nin veya 1004'ün sıfıra uzaklığı 3'ten büyük olur. yani 3'ten büyük her sayı bu ifadeyi doğru kılar. bu durumda, bu koşulu sağlayan sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterecek olsaydık, -3'ten önce (-3'ten küçük) ve 3'ten sonraki (3'ten büyük) sayıları almamız gerekirdi. bu vaziyeti de şöyle ifade edebiliriz:
    sayı < -3 veya (ek olarak) sayı > 3. yani; x-4 < -3 veya x-4 > 3 olur. bu eşitsizliğin çözümünden de;
    x < 1 veya x > 7 sonucuna ulaşırız. bir önceki örneğin aksine, burada bulmuş olduğumuz sayı kümesi, doğru üzerinde iki ayrık parçadan oluşuyor.

    [10 yıl sonra gelen edit: @aynaya uzun uzun bakmak sağolsun, son örnekte bir hata yapmışız. yine böyle uykulu uykulu mu yazdım bilinmez, hem ben kaç yıldır da yazmıyorum. olm 10 yılda hiçbiriniz mi farketmediniz?! kimse okuduğunu anlamıyor vallahi billahi, gerçi ben de yazdığımı anlamamışım ama...]
  • aslında kolay sayılabilecek bir bir lise1 konusudur. fakat üstüste 5 tane kafa karıstırıcı mutlak deger sorusundan sonra fazla dozdan dolayı 2 ile 2'yi toplayamayacak hale gelirsiniz. "bugün günlerden ne?" sorusuna "şubat galiba" diyebilirsiniz. bu sebeple sorular ögrenciye sindire sindire verilmeli,işin boku çıkarılmamalıdır.
  • bir noktanın orijine olan uzaklığıdır. uzaklık olduğu için asla negatif olamaz
  • bir sayının karesinin kareköküdür.
  • matemetikten naçizane soğuma sebebi. sıradan bir "x"in, mutlak değer barlarının içine eksi girip, artı çıkmasıyla matematik bir çok insan için muamma haline gelmiştir.
  • futbolculara soyle ezberletilendir; (bkz: mutlak uc puan parolasi)

    |-3| = |3|
  • sayılarda tanımlı olduğu gibi insanlarda da tanımlıdır. lakin bir kişinin mutlak değeri, sizi başlangıç noktasından taşıdığı uzaklığı belirtir. bazı insanlar vardır, sizi hayatın bir noktasından alır uzaklara götürür ve sonra başladığınız yere geri getirir. fakat bazı insanlar iyi ya da kötü yönde çok farklı noktalara götürebilir.

    geçen sene tam da bugün bir insanla tanıştım. sağ olsun kendisi bana çok şey öğretemeyecek olsa da* çok zaman dinledi beni, akıl verdi, doğruma doğru yanlışıma yanlış dedi. her geçen gün arttırdı mutlak değerini. en dip noktada da en yüksek noktada da yanımda oldu. kendisi çok süper bir insan çünkü. hatta benden sonra en süper insan olmaya aday. bir gün ben gidersem yerime vekalet edecek kişi, müdür yardımcısı. sen çok yaşa. mutlak değerli.
  • bir sayının, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. mutlak değerli bir ifade mutlaka sıfıra eşit veya daha büyüktür. diğer bir deyişle mutlak ifade negatif bir sayıya eşit olamaz.

    mutlak değerin içi negatif ise eksi ile çarpılarak dışarı çıkartılır. örneğin: |-7|=|-(-7)|=7
  • kendisi çamaşır makinesine benzeyen fonksiyondur. içine kirlileri* de atsan temizleri* de atsan çıkan çamaşırlar hep temizdir.**

    örneğin -6 sayısını düşünelim. negatif yani kirli çamaşır olduğu konusunda herkes hemfikirdir.

    |-6| = 6

    bazen de çamaşırların kirli mi temiz mi olduğunu anlamak zor olabiliyor, bunun gibi: |x-12| < 6

    mesela bir damla meyve suyu lekesi birisine göre çamaşırı kirletirken daha pasaklı birisine göre de çamaşırın temizliğine zeval vermez. işte bu durumlarda kime göre neye göre diye sorduğumuzda cevap hep denklem köküne göre olur. evet, buradaki söz sahibi kişi denklem köküdür. ona soracaksınız.

    kök bulma ve işaret belirleme

    örneğimizde görülüyor ki 12'den büyük sayılar denklemimizi temiz yaparken küçük olanlar ise kirli yapar. yani 12'den büyük olanlar denklemi pozitif yapmakta, 12'den küçük olanlar ise denklemi negatif yapmaktadır. temiz yani pozitif olanlar aynen dışarı çıkarken kirli* olanlar da başlarına eksi alarak dışarı çıkarlar ki kendi eksisiyle önüne koyduğumuz eksi çarpılıp artıya dönüşüp temizlensin.

    mutlak değerden çıktıntan sonra da gerekli işlemler tamamlanır, istenilen çözüm bulunur.

    örneği birazcık daha zorlaştıralım: |x² - 5x + 6| > 2

    bu seferki denklenim 2 ve 3 olmak üzere iki kökü var. ikisine de onlara göre kimlerin temiz kimlerin kirli olduğunu soracağız.

    kökleri bulma ve işaret belirleme

    denklemleri mutlak değerden çıkardıktan sonra da işimiz bitmiyor. bu sefer de çıkan sonucun tutarlı olup olmadığını kontrol etmeliyiz. örneğin 2 ve 3'ün arasında kalan bölgeyi mutlak değerden çıkardıktan sonra
    " x² - 5x + 8 < 0 " ifadesini elde ettik. bu ifadenin diskriminantı sıfırdan küçük olduğu için gerçel bir kökü yoktur.* aynı şekilde 1,2,3 ve 4 sayıları da bizim denklemimizi sağlamadığı için onları da eledik.*
  • herhangi bir reel sayısının, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır.
hesabın var mı? giriş yap