hesabın var mı? giriş yap

  • matematik öğrenmeye ilk başladığım zamanlar bir ali nesin kitabında görüp ilk başta anlamlandıramadığım, ancak zamanla matematik tecrübemin artmasıyla kafamda mantıklı bir zemine oturtabildiğim matematik sorusudur.

    bu soruyu ilk gördüğümde bir arkadaşıma göstermiş, üzerine saatlerce düşünüp tartışmış, bir süre sonra cevabı konusunda fikir ayrılığına düşüp birbirimize kırıcı cümleler sarf etmiş ve sonunda kavga etmiştik. biriyle kavga etmeme sebep olan ilk matematik sorusu bu olduğundan gönlümde yeri başkadır.

    sorunun sınırları belli olan sonsuz bir zaman dilimi içermesi bile sonsuzluk kavramına aşina olmayanlar için başlı başına kafa karıştırıcı olması bir yana, sorunun cevabı genellikle insanın sağduyusuna ters olduğu için kişide epey kafa açıcı bir etki bırakır.

    soruyu ve cevabını yazmadan önce sorunun cevabının sebebini anlayabilmek için okuyucuları sonsuzluk kavramıyla ilgili olan şu iki girdiye göz atmalarını tavsiye ediyorum:

    sonsuzluk oteli

    hangi sonsuzluklar birbirine eşittir

    bu girdileri direkt okumasanız bile cevabı zihninizde mantıklı bir zemine oturtamadığınız takdirde geri dönüp okumanızı tavsiye ederim.

    sorumuz şu şekilde:

    boş bir odamız ve bu odanın da açık bir penceresi var. odanın dışında mahmut, içinde ise hüso bulunmakta. saat tam olarak 11:59. yani 12'ye 1 dakika var. mahmut'un yanında her biri 1,2,3,4... şeklinde numaralandırılmış sonsuz adet top var.

    mahmut bu 1 ve 2 numaralı topları saatin 12 olması için kalan süre olan 1 dakikanın 1/2 miktarı süresinde, yani yarım dakikada odanın içine atıyor ve hüso da bu toplardan 1 numaralı olanı anında pencereden dışarı atıyor.

    daha sonra mahmut 1 dakikanın 1/4 miktarı sürede hüso'nun olduğu odaya 3 ve 4 numaralı topları fırlatıyor ve hüso hiç zaman kaybetmeden pencereden 2 numaralı topu atıyor.

    bu işlem mahmut'un 1/8 dakikada 5 ve 6 topları atarken hüso'nun 3 numaralı topu dışarı atması, mahmut'un 1/16 dakikada 7 ve 8 numaralı topları atarken hüso'nun 4 numaralı topu dışarı atması şeklinde sonsuza dek devam ediyor.

    saat 12 olduğunda odada kaç top vardır?

    bu soruya ilk görüşte cevap veren biri büyük olasılıkla "odada sonsuz top vardır çünkü hüso'nun dışarı attığı her top için mahmut odaya iki top atmıştır, böylelikle mahmut'un her topu dışarı atması mümkün değildir" şeklinde cevap verecektir.

    bu cevap doğru değil.

    saat tam 12 olduğunda odanın içinde 0 top bulunur.

    peki nasıl?

    ali nesin kitabında bu soruyu kümeler teorisi kullanarak matematiksel notasyonla yaptığı işlemler vasıtasıyla cevaplıyor ancak benim niyetim bu değil. ben bu sorunun hiçbir işlem yapılmadan sadece sezgisel olarak anlaşılmasını sağlayabilmek için çaba sarf edeceğim. ancak yine de yazının sonunda işlem yoluyla çözümünü görmek isteyenler için kitabın bir linkini de bırakacağım.

    şimdi düşünelim.

    bu soruya iki farklı yaklaşım biçimi var:

    1- odaya atılan toplar üzerine düşünmek.
    2- odadan dışarı atılan toplar üzerine düşünmek.

    biz birinci yolu kullandığımızda odaya atılan top sayısı odadan dışarı atılan top sayısından fazla olduğu için ne olursa olsun odada top bulunacağı fikrine vararak hataya düşmüş oluyoruz. zaten sonsuzluğun güzel tarafı da bizi bu tür hatalara düşürme imkanının sonsuz olması.*

    ikinci yolu kullandığımızda ise atılan toplara odaklanacağımızdan saat 12 olduğunda odadan atılmamış hiçbir top bulamayacağımızı, dolayısıyla odanın içinde toplam 0 top olabileceğini fark ederiz.

    nasıl?

    diyelim ki saat 12 ve biz odada 0'dan fazla miktarda top olduğunu kanıtlamak istiyoruz. bunun için sonsuz top saymamıza gerek yok. odanın içinde yalnızca bir top olsa bile odanın içinde 0 top olmadığı sonucuna varmış olur ve 0 top sonucumuzu çöpe atmış oluruz.

    sorunun başında çaktırmadan her topun numaralandırılmış olduğu bilgisini vermiştik. şimdi ise odanın içinde bir top bulmak istiyoruz.

    mahmut'un odaya attığı topların her birinin bir numarası olduğundan, eğer odanın içinde bir top varsa, bu topun numarası kaçtır?

    yani özetle, eğer biz bu odanın içinde bulunan herhangi bir topun ismini verip "şu numaralı top odada bulunur" diyebilirsek odanın içinde 0 top olmadığını, eğer bunu yapamazsak da odanın içinde 0 top olduğunu kanıtlamış oluruz.

    düşünmeye devam edelim.

    1/2 zamanda 1 ve 2 toplarını içeri atmıştık ama hüso 1 numaralı topu dışarı atmıştı. bu durumda odanın içinde 1 numaralı topun var olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz.

    1/4 zamanda 3 ve 4 numaralı topları atmıştık ama hüso 2 numaralı topu dışarı atmıştı, bu durumda 2 numaralı topun da odada var olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz.

    3 numaralı top için 1/8 zaman dilimini, yani 3. turu, 4 numaralı top için 1/16 zaman dilimini, yani 4. turu 5 numaralı top için 1/32 numaralı zaman dilimini yani 5. turu gösterebiliriz. böylelikle 1,2,3,4 ve 5 olmadığını da biliyoruz.

    buradaki örüntüyü fark eden olmuştur.

    biz diyelim ki odanın içinde x numaralı topu arıyoruz. bu durumda biz kesin olarak bu x numaralı topun odadan dışarı 1/2^x zaman dilimine denk gelen turda atıldığını biliriz.

    11:59 ile 12:00 arasındaki 1 dakikayı matematiksel açıdan sonsuza dek bölebileceğimizden, 1/2^x sayısındaki 2^x değeri için hiçbir sınırımız yoktur. yani biz içeri her ne kadar tüm turlarda içeriden dışarı atılan top sayısının bir fazlasını içeri atıyor olsak da içeri alınan top sayısı da dışarı atılan top sayısı da sayılabilir sonsuzluk değerlerine sahip olduğu için birbirine eşit olacaktır.

    yani içeri sonsuz top atılırken dışarı da sonsuz top çıkacağından ve her iki sonsuzluk da sayılabilir sonsuzluklar olacağından, saat 12:00 olduğunda içeri atılan top sayısı ile dışarı atılan top sayısı eşit olacaktır.

    bu olay tıpkı yukarıda linkini bıraktığım yazılardaki sonsuzluk oteli durumuna ve sayılabilir sonsuzlukların eşlendiği ikinci yazıdaki cantor durumuna benzer.

    olayı zihninde oturtamayanlara tekrar yukarıdaki yazıları okumalarını tavsiye ederim.

    sorunun geçtiği kitap linki: matematik ve gerçek sayfa 29

    (bkz: matematik ve gerçek)

  • $ehirlerarasi yolculuklarda biz erkeklerin sikca ba$ina gelen hissel durum. zerre alakasi yoktur abazalik ilen, ipnelik ilen. tepeden tirnaga temiz ve sevimli hislerin dogurdugu durum.
    ornek olay, tamamen mizansendir:
    ankara - izmir hatti, alinmi$ metro firmasindan bilet, izmir'e akilacak. bir ilkbahar gecesi, saat 01:00 gibi. otobuse binilir, hemen sagda solda guzel kizlar dikkat ceker, bu kismi abazalik, ipneliktir bak o dogru, "-uff ne duzgun kari baba be, kalcalarina kurban..." gibi... bunlar pek klasik erkek geyikleri.
    sonra yolculuk hali ba$lar, etraf karanlik. yol i$iklarinin, asfalt otobanda yazdigi $iirler...
    o guzel kizlardan pek bir begenileni pek bir hastasi olunan uyur. sen de kenarda artik uyur musun ne bok yersen. ertesi sabahin gune$i parlamaya ba$layip izmir'e yakla$irken, o kiz hala uyuyordur. ama ne uyumak. melek mi, prenses mi, huri mi... ba$ o ince boyundan hafif sola yatmi$, o pembecik dudaklarin uzerinde cig gibi ter, saclarin daginikligi, yolculuk oncesi makyajdan kalma kalem hafif silinmi$. 2-3 dakikada bir kafayi ufak hareketler ile saga sola cevirir, bu hareket esnasinda boynun on kismindaki o iki kiri$ ortaya cikar, aralarindaki o cukur, dunyadaki en guzel yeridir belki... i$te o zaman direk opesi gelir insanin kizi...
    daha fazla yazamayacam. elim ayaam titriyo bak...
    (bkz: hisli entry) (bkz: smiley koymak istiyorum) hatta koydum.

  • "ulan 150 lira burs vereceksiniz, istiyosunuz ki tüm akrabalarım ölmüş olsun, tutunacak dalım kalmasın. sakat kalayım, tecavüze uğrayayım. ibneler!"

  • ampute milli takımı ankara büyükşehir belediye başkanı mansur yavaş'ın daveti üzerine 8 kasım'da kendisini makamında ziyaret etmişti.

    geçtiğimiz ay tarihinde ilk kez dünya şampiyonu olan ampute milli takımı oyuncuları, ankara büyükşehir belediye başkanı mansur yavaş'ı ziyaret edince disiplin kurulu'na sevk edildi.

    kaynak

    türk halkının seçimiyle başa gelmiş, başkentin belediye başkanını ziyaret etmek neden suç unsuru ? mansur yavaş yabancı bir ülkenin belediye başkanıda bizim mi haberimiz yok ?

    yada ekmek üreticileri sendikası genel başkanı (bkz: cihan kolivar) “ekmek aptal toplumların temel gıda maddesidir. dediği için neden hapiste ?

    aynı şekilde türk milletinin oyu ile seçilen türkiye'nin en büyük şehirinin belediye başkanı (bkz: ekrem imamoğlu) neden siyasi yasak davası görüyor?

    son soru akp ne yapmak nereye varmak istemektedir?

  • hızlı bir biçimde ekşi sözlüğün ticari yönünü kafasında ve uygulamada bir yerlere oturtması gerektiğini düşünüyorum.

    bu oturttuğu yeri de bizlerle paylaşması gerekir. medyaya verdiği röportajlarda sözlüğün fenomen haline gelme sebebinin içinde barındırdığı protest ruh olduğunu kendisi bizzat tarif etmişti.

    şimdi işler değişti. ekşi sözlüğün sahibi/yöneticisi artık yanlızca burada yazan bir takım huzursuz tiplerin bildiği, saydığı kişiler değil, bir yandan bu işlerden kazandığı paralarla mercedes'e binen, canı sıkıldı mı 2 bilet alıp oraya buraya tatile gidebilen tipler. işin içine para girince her iş değişiyor, çoğunlukla da çirkinleşiyor. sözlük de çirkinleşti artık.

    ha bu paralar gelmeye devam eder mi? eminim ki sonsuza kadar olmasa da çok uzun bir süre evet devam eder. ama şunu unutmamak lazım;

    işlek bir yerde açtığınız umumi helayla bir tıp profesörünün kazandığından daha fazla para kazanabilirsiniz. hayatta tıp profesörü mü olmak istersiniz yoksa helacı mı? bence bunun cevabını versin. bize de bildirsin. bizde ssg ve kilolu arkadaşının uygun gördüğü başlıklara, onların uygun gördüğü fikirlerimizi ona göre yazalım.

  • bayiliyorum buna ben, cidden.
    dun aldigim bir habere saatlerce dar dar daraldim, aklim dagilsin diye bir bara gittim ictim, sonra arkadaslarima ugradim, eve geldim 10 gibi.

    dizi falan izlemeye calisiyorum ama cik, dusunceler kafamda fir donuyor.
    en son dedim ''tamam bu gunden artik hayir gelmeyecek, uyuyayim.'' aldim kediyi de kucagima, yataga yollandim daha 11 olmadan. (gunun daha iyiye gitmeyecegini kabullenmek de yasla gelen bir sey bu arada)

    arkadas sabah bir uyandim, sanki dun darlanan ben degilim.
    oyle guzel cozmusum ki uykuda, kalktim ''amaaaan'' dedim ''yazik ya dun daralarak gecirdigim saatlere!''.

    o yuzden baktiniz ki takildiniz bir dusunceye, didiklemeyin artik, yatin uyuyun, gercekten ise yariyor.

  • ortaokul yillarinda babasinin kurdugu bir gazetede gorev alarak basin hayatina adim atmis olan cetin emec vuruldugu sirada hurriyet gazatesi genel yayin yonetmeniydi. yazdigi yazilar nedeniyle o donemin butun cesur gazetecileri gibi o da tehdit mesajlari aliyordu. suikaste kurban gittigi 7 mart 1990 tarihinden tam 90 gun once; aldigi tehdit mesajlari ile ilgili bir makale yazmis ve bu sekilde kendisini yildiramayacaklarini aciklamis, bu sekilde gercek bir gazeteci oldugunu ortaya koymustu. suikastin ertesi gununde atatürk havalimanı 'nın otoparkında terk edilmiş olarak bulunan bir otomobilin torpido gözünde hürriyet gazetesinin birinci sayfasındaki çetin emeç'in fotoğrafı kırmızı kalemle işaretlenmis olarak bulundu. bu olayin ardindan tam uc yil boyunca hic bir arastirma yapilmadi, yapildiysa da elle tutulur hicbir sey bulunamadi. çetin emeç'in olum emrini veren, iran yanlısı terör örgütü islami hareket'in türkiye askeri birim genel sorumlusu ve icra şurası üyesi 'deniz' kod adlı ekrem baytap, 16 ekim 1993'te istanbul'da yakalandı. ekrem baytap'ın olumune karar verdigi tek isim degildi tabi ki çetin emeç. turan dursun,uğur mumcu, bahriye üçok ve muammer aksoy da ayni kaderi paylasiyordu.

    suikastının planlayıcılarından, islami hareket örgütü üyesi abdullah bilen, merter'deki bir banka soygunu sirasinda polisle girdiği çatışmada öldü. 'nezih beyret' sahte kimlikli tetikçi ise kaçmayı başardı. tetikçilerinden irfan çağrıcıise 1996 yilinda bir banka şubesinden iran kaynaklı yüklü miktarda parayı çekerken yakalandı. bu ulkede yakalanan diger suclular gibi o da iki sene boyunca mahkemeye gitmedi ve dava uzadikca uzadi, yillarca tutuksuz yargilandi.
    ta ki 23 temmuz 2000e kadar... dgm'de çetin emeç suikastıyla ilgili yargılandığı davada , "anayasal düzeni silah zoruyla değiştirmeye kalkışmak" suçundan idam cezasına çarptırıldı. aynı davada yargılanan dört sanık ise müebbet ağır hapise mahkum edildi. 17 sanığa da 3 yıl 9 ay ile 12 yıl 6 ay arasında ağır hapis cezaları veren mahkeme heyeti, 20 sanığın beraatini, yedi sanık hakkındaki dosyanın zaman aşımından düşmesini, bir sanığın da dosyasının ayrılmasına karar verdi. bu kisiler mahkemede cezaya carptirilmis olsa da orgut teror eylemlerine yillarca devam etti

    ve bugun... halkin gazetecisi olmak icin, sadece dogruyu yazmak icin, gorevini en iyi sekilde yapmak icin basin sehidi olan cetin emec'in olumunun uzerinden 15 yil gecmisken bu baslikta yazan alti (6) entry'den sadece iki (2) tanesi onun hakkinda birseyler anlatiyor birer satirla da olsa. ucuncu entryn ben olayim dedim usta. rahat uyu; izindeyiz.