vektör uzayı

• kisa ve öz bir tanimini yapacak olursak, elemanlari (vektörler) arasinda toplama ve skalerlerle carpim islemlerinin "tanimli" oldugu bir kümeye vektör uzayi denir. dogrusal uzay veya lineer uzay seklinde de bahsi gecer.
  
  v bir vektör uzayi, x ve y de bu uzayin iki elemani olsunlar. a ve b de iki skaler sayi olsunlar:
  
  1) x + y, yani x ve y elemanlarinin toplami, v vektör uzayinin elemanidir ve su özellikler gecerlidir:
  
  i) x + y = y + x
  ii) (x + y) + z = x + (y + z)
  iii) v vektör uzayinin bir sifir elemani vardir ve v uzayinin her elemani (x) su özelligi saglar:
  x + o = x
  iv) v vektör uzayindaki her elemanin (x) bir ters elemani (-x) vardir ve
  x + (-x) = o özelligi gecerlidir.
  
  2) herhangi bir a sayisi ve herhangi bir v elemani x'in carpimi a*x, v vektör uzayinin bir elemanidir ve su özellikler gecerlidir:
  
  i) a*(b*x) = (a*b)*x
  ii) 1*x = x
  
  3) toplama ve carpma islemleri su iki dagilma özelligini tasirlar:
  
  i) (a + b)*x = a*x + b*x
  ii) a*(x + y) = a*x + a*y
  
  a ve b gercel sayilarsa; v vektör uzayi bir gercel vektör uzayidir. a ve b sayilari karmasik sayilarsa v vektör uzayi bir kompleks vektör uzayidir.
  
  (kaynak: kolmogorov ve fomin)
  
  ayrica alakali olarak bakiniz:
  
  normlu vektör uzayi
  banach uzayi
  topolojik vektör uzayi
  ic carpim uzayi
  öklid uzayi
  hilbert uzayi
  metrik uzay
  tam metrik uzayi
  topolojik uzay
  kompakt uzay
  
  edit:
  
  yukaridaki sekiz aksiyom kullanilarak su ozellikler de ispatlanabilir:
  
  1) sifir elemani tektir.
  
  o1 ve o2 sifir elemanlari olsunlar. o halde
  
  o2 = o2 + o1 = o1 + o2 = o1, demek ki o2 = o1
  
  2) herhangi bir x elemani icin, 0*x = o esitligi gecerlidir.
  
  x = 1*x = (1+0)*x = x + 0*x
  
  x = x + 0*x esitliginin her iki tarafina x'in ters elemanini ekleyelim:
  
  x + (-x) = x + 0*x + (-x)
  x + (-x) = x + (-x) + 0*x
  o = o + 0*x
  o = 0*x + o
  o = 0*x
  
  3) herhangi bir a sayisi icin a*o = o esitligi gecerlidir.
  
  a*o = a*(0*o) = (a*0)*o = 0*o = o
  
  4) a*x = o ise, a=0 veya x=o
  
  a 0'dan farkli, x de o'dan farkli olsun.
  
  x ~= o
  1*x ~= 1*o = o
  a*(1*x) ~= o
  a*x ~= o
  
  5) herhangi bir x elemaninin ters elemani -x tektir.
  
  t1 ve t2 ve x'in ters elemanlari olsunlar.
  
  t1 = t1 + o = t1 + (x + t2) = (t1 + x) + t2 = (x + t1) + t2 = 0 + t2 = t2 + o = t2
  t1 = t2
  
  6) herhangi bir x elemani icin (-1)*x = -x
  
  x + (-1)*x = 1*x + (-1)*x = (1-1)*x = 0*x = o
  
  x'in ters elemani tek oldugu icin (-1)*x = -x
  
  7) herhangi bir a sayisi ve herhangi bir x vektoru icin (-a)*x = a*(-x) = -(a*x)
  
  (-a)*x = ((-1)*a)*x = (-1)*(a*x) = -(a*x)
  
  (-a)*x = (a*(-1))*x = a*((-1)*x) = a*(-x)
• vektor uzaylari bir cisim (bkz: #711139) uzerinde tanimlanir. skaler tabir ettigimiz seyler bu cismin elemanlaridir.
• linear algebrada vector space diye öğrettikleri zımbırtı birde subspace i vardırki türkçemizde alt uzay olarak geçer.