harmonik seri

• sigma(1/k), k=1,..,sonsuz
  toplami.. sonsuz toplami sonsuza giden hos bi seridir.. bi ucurumun ustune sabit buyuklukte tahta parcalarini ustuste koyarak (cakmadan) kopru kurulabilir mi?, ne kadar tahta gerekir vs. seklinde sorularin cevabi burdan gecer..
• 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
  diye giden sonsuz seri. ismini muzik teorisinden alir (bkz: #2691582). eklenen sayilar gittikce kuculdugu icin toplam da belli bir esigi gecmez, yani belli bir degere yakinsar diye dusunulebilir, ama heyhat! sayilar eklendikce toplam sonsuza gider (bkz: surekli buyuyor efendim durduramiyoruz). buna da iraksamak der matematikciler.
• bu seri bazen beklenmedik sekillerde karsimiza cikar.
  
  diyelim ki elimizde bir masa ve n adet tugla var. masanin tam kenarinda tuglalari ust uste dizerek bir kule insa ediyoruz, ve amacimiz kuleyi devirmeden tuglalari disari dogru mumkun oldugunca cok tasirmak. soyle bir sey insa ediyoruz yani. her bir tuglanin 1 karis uzunlugunda oldugunu varsayalim. kuleyi masanin kenarindan disari dogru en fazla kac karis tasirabiliriz?
  
  n = 1 ise (yani elimizde tek bir tugla varsa) cevap kolay: disari tasirabilecegimiz maksimum uzunluk 1/2 karistir. tuglanin yarisi masada durur, diger yarisi disari tasar. 1/2 karistan fazlasini disari tasirmaya kalkarsak tugla duser, yani kule devrilir.
  
  n = 2'ye gecelim. iki tuglalik bir kule insa edecegiz. maksimum tasma mesafesi istiyorsak, ustteki tuglayi yine yukaridaki gibi dengelemeliyiz: yarisi disari tassin, diger yarisi alttaki tuglanin uzerinde dursun. peki alttaki tuglayi masanin kenarindan disari ne kadar tasirabiliriz? onu da yarisi kadar tasirirsak kule devrilir, cunku iki tuglanin ortak agirlik merkezi masanin kenarindan disari tasmis olur. demek ki alttaki tuglayi biraz daha az disari tasiracagiz. basit bir hesapla goruyoruz ki alttaki tugla en fazla 1/4 karis disari tasabilir, daha fazla tasarsa ortak agirlik merkezi masanin kenarini gecer ve kule devrilir. demek ki alttaki tugla 1/4 karis disari tasiyor, ustteki tugla bunun uzerine 1/2 karis daha disari uzaniyor, toplam tasma mesafesi: 1/2 + 1/4 = 0.75 karis.
  
  n = 3'u de benzer sekilde cozebiliriz. en ustteki iki tugla bir onceki paragraftaki gibi duracak, alttaki tugla da ortak agirlik merkezini masanin tam kenarina denk getirecek kadar disari tasacak. basit bir hesapla, toplam tasma mesafesi: 1/2 + 1/4 + 1/6 = 0.92 karis.
  
  tugla sayisi arttikca maksimum tasma mesafesinin nasil arttigini bu uc ornekten gorebiliyoruz. kulede n tane tugla varsa maksimum tasma mesafesi suna esit: (1/2)*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) karis. bir baska deyisle, n tuglalik bir kulenin devrilmeden disari tasabilecegi maksimum mesafe, harmonik serinin ilk n teriminin toplaminin yarisina esit. iste harmonik seri hic beklenmedik bir bicimde karsimiza cikti.
  
  buradan ne cikarabiliriz? harmonik serinin iraksak bir seri oldugunu, yani terimlerinin toplaminin sonsuza gittigini biliyoruz. toplam sonsuza gidiyorsa, toplamin yarisi da sonsuza gider. demek ki tugla sayisi arttikca, kulenin maksimum disari tasma mesafesi de sonsuza gider! yani yeteri kadar tuglamiz varsa, kuleyi devirmeden disari dogru istedigimiz kadar tasirabiliriz!
  
  tabii hedefledigimiz tasirma mesafesi arttikca, kullanmamiz gereken tugla sayisi da eksponansiyel bir hizla arttigi icin, pratikte birkac karistan fazla bir tasma mesafesi elde edemeyiz. mesela 5 karislik bir tasma mesafesi istiyorsak 12.367 tuglayi ust uste dizmemiz gerekir. her tugla 5 santim kalinliginda olsa, bu 618 metrelik bir kuleye tekabul eder. empire state building'in bir bucuk kati. 10 karislik bir tasma mesafesi istiyorsak 250 milyondan fazla tuglayi ust uste dizmemiz gerekir, ki bu da 12.500 km yuksekliginde bir "kule"ye tekabul eder. 12.500 km kabaca dunya'nin capina esit. demek ki teori baska, pratik baska.
• sonsuza ıraksayan seri.
  
  integral testiyle rahatça gözlemleyebilirsiniz.
• ismi aslında müzikten gelir. telli ensturmanlarda tel uzunluğunu l ise bu aletteki doğal harmoniklerin konumu l/2, l/3, l/4, ... diye sonsuza kadar gider. bunu gitarda 12'nci perdenin sonuna parmak ucunuzu hafif değidirip teli çalarak çıkan tiz ses olarak gözlemleyebilirsiniz. bunun sebebi ise gitar telinin bir duran dalga olmasıdır. bu dalganın düğüm noktaları, yani hiç hareket etmeyen konumları gitarın somunundan köprüsüne sabitlenmiş olan telin sadece belli kısımlarında bulunabilir. görsel bir teldeki harmoniklerin konumu gösteriyor.