üç katlı integral

• advanced calculus dersinin 2. donem 2. konusu...
  cok kisa surer zira double integrali beceren bunda hic zorlanmaz
  
  olay sudur:
  
  3 degiskenli fonksiyonun grafigiyle (3 boyutlu bir cisim) xyz sistemi arasindaki 4 boyutlu cismin hacmi(?) hesaplanir.
  
  ///((x^2*y)*sinz)dxdydz gibi bisi cikar karsiniza... ayni double integralde oldugu gibi bu sefer de
  sirasiyla 3 tane normal integral hesaplanir. ayrica (bkz: quadruple integral)
• uzay geometridir bunun gectigi yerin adi. belirli 3 köklü integral, verilen koordinatlarda yer kaplayan bir cismin hacmini verir. arti; kütle, moment, agirlik merkezi, atalet momenti gibi fiziksel hedeleri hesaplamada da kullanilir.
  
  örnegin;
  §(x1,x2)§(z1,z2)§(y1,y2) f(x,y,z).dx.dy.dz
  integralinde f fonksiyonu olarak herhangi bir geometrik cismin polinomik yazimini kullanirsak integralin sonucu hacmi verir. "f carpi özkütle fonksiyonu" koysak, kütleyi verir. vesaire vesaire. ugra$tirmayin beni, cok yil gecti üstünden.
• hacim hesaplamalarında çok işe yarar. bilmemne yüzeylerin arasındaki hacimi hesapla denince, üç katlı integralin altına 1 konur ve verilen yüzeylere göre integral sınırları belirlenir. mesela kenarları 2, 3 ve 4 olan bir dikdörtgenler prizmasının alanını hesaplayalım:
  
  /(0, 4)/(0, 3)/(0, 2) 1 dx dy dz integralini alırsak, beklendiği üzere 24 buluruz. tabii bu çok basit bir hesaplama, ancak üst ve alt sınırlar için diğer değişkenlerin fonksiyonlarını kullanabilirsiniz. bu sayede yamuk yumuk yüzeylerin hacmi rahatça hesaplanabilir. yani şu tarz bir integral de mümkün:
  
  /(0, 4)/(s(z), t(z))/(f(y, z), g(y, z)) 1 dx dy dz gibi bir integral, bize z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında x'in f ve g arasında kalan, y'nin de s ve t arasında kalan değerleri sağlayacağı şeklin hacmini verir.
  
  bu integralleri silindirik koordinatlara ve küresel koordinatlara çevirmek de mümkün. küresel koordinatlar uğraştırır ama. x = r*cos(theta)*sin(phi), y = r*sin(theta)*sin(phi), z = r*cos(phi) değişimlerini kullanarak küresel şekillerin hacimleri cok daha rahat hesaplanır, bir sürü karekökle uğraşılmaz. ancak değişimi yaparken jacobian'ı unutmamak gerekir, fonksiyonun yanına r^2*sin(phi) koymak gerekir. silindirik koordinatlarda ise "r" koymanız yeterlidir. örnek olarak da yarıçapı 5 olan bir kürenin hacmini hesaplayalım. eğer küresel koordinatları kullanmazsak
  
  /(-5, 5)/(-karekök(25 - z^2), karekök(25 - z^2))/(-karekök(25 - y^2 - z^2), karekök(25 - y^2 - z^2)) 1 dx dy dz gibi abuk bir integralle cebelleşmek zorunda kalırız. ama değişimleri yaptıktan sonra elimize gelen integral oldukça basittir:
  
  /(0, pi)/(0, 2pi)/(0, 5) r^2*sin(phi) dr d(theta) d(phi)
  
  bu integrali alınca da yine beklendiği gibi 500pi / 3 sonucunu alırsınız. almazsanız paranız iade.
• insanı asıl meselelere bir adım daha yaklaştırır.
• integralin içinde sayı varsa hacim hesaplar, he eğer fonksiyon varsa ne hesaplayacağı belli olmayan güzide konudur.
• yanılmıyorsam diğer integrallerde olduğu üzere uzunluk alan veya hacim gibi şeyleri hesaplama derdi olmayan yalnızca ilgili fonksiyonun belirli ya da belirsiz aralıkta sonsuz küçüklükte değer ve tanım küme aralıklarının çarpımlarının toplamını veren bir operatördür. ha uzunluk alan hacim gibi şeyler de dolaylı olarak hesaplanılır bunla ama sadece bu değildir integral. na bu integralin çoklu kullanımlarından biridir üç katlı olan, kaçak kat integrali diyenler de mevcuttur. yanlışımız varsa matematikçi arkaşlardan özenle edit alınır tabi.
• delirtir.
• genelde hacim, atalet momenti, ağırlık merkezi için kullanılır. pek bir olayı yoktur. genelde en zor soruda bir z sınırı verilir. bir zy düzlemi verilir, x ve y ilişkisi de verilince elini kolunu sallaya sallaya yaparsın. hatta iki katlı integrali çoğu zaman daha zordur. orda rcos^2 ler falan girer genelde. gerçi bazen üç katlı integral sorularında da görebiliyoruz onu. neyse özetle sınırı bulduktan sonrası çok basittir.
• görenlerde kısmi felç, adını ananlarda dil tutulması yaratan, duyanlarda kan çekilmesine yol açan efsanevi matematiksel işlem.
  
  genelde upper physics derslerinde hacim, elektrik alan, manyetik alan, kapalı cisim işlemlerinde(genelde birbirleri ile ilişkili şekilde) ve ileri seviye tüm elektrik içerikli derslerde görülür bu dostumuz.
  
  başlıca iki türü vardır, birincisi, ki en fazla görülen çeşidi hacim hesaplamadır. diğeri ise ne hesapladığı belli olmayan 3 katlı integaldir, çözersiniz ve geçersiniz.
  
  sistem şu;
  
  3 katlı diyoruz çünkü 3 boyutlu bir cisim için çözüm yapıyorsunuz, yani hacim hesaplıyoruz. çift katlı integral ise tahmin edersiniz ki alan hesaplama işlemlerinde kullanılıyor, mantık basit aslında.
  
  "dx, dy, dz" yani 3'lü koordinat sistemimizin her yönünde bir varlık söz konusu, her biri için bir tane integral işareti ekliyoruz.
  
  integral'in kelime anlamı toplamak, tümlemek, bütünlemek olarak veriliyor bize yani sonsuz küçüklükteki noktaları toplayarak bize işlem kolaylığı sağlıyor, işte bu noktada riemann'ı hatırlayanlar ne dediğimi ve ne kadar ölümcül derecede yararlı bir işlem olduğunu anlar.
  
  ilk integralimizde f parantezimize x koyuyoruz çünkü tek koordinat üzerine işlem yapıyoruz. sonuna da tek eksenden dolayı "dx" ekleniyor.
  
  iki katlıda f parantezimize x'e ek y geliyor. ve son kısma "da" ekleniyor çünkü iki farklı eksende işlem yapıyoruz.
  
  üç katlııda f parantezimize z de giriş yapıyor ve sona dv ekliyoruz çünkü artık 3 boyutlu hesaplara geçtik v ise hatırlarsınız d=m/v den beri aynı, hala hacim anlamına geliyor :)
  
  aslında üstte direkt geçtim ama eklemekte fayda var.
  
  her boyut için dx dy dz sona gelir ve biz onu neyi hesaplamakta kullanacağımızı bildiğimiz için direkt değiştiririz.
  
  yani f(x, y, z) dx dy dz yazmak yerine f(x, y ,z)dv yazarak devam ederiz.
  
  "dx dy dz" demek seçtiğimiz sonsuz küçüklükteki parçaların adıdır. cismin x koordinatından bir sonsuz küçüklükte parça y'den ve z'den.
  
  sonra, bu arkadaşlar ile tek tek hesap yapmamız imkansız olduğu için limit kullanırız.
  
  lim "dx dy dz" sonsuza giderse artık sonucumuzu net bir biçimde buluyoruz.
  
  olay bitti, artık anlamını anlattım.
  
  gerisi sizin yeteneğinize, okulunuza ve hocamızın insafına kalmış :)
  
  içerideki integrali çöze çöze dışarı çıkıyoruz.
  
  ilk integrali sınırları yerine koyup çözün çıkan sonucu ikinci integralin sınırları ile çözün ve devam edin.
  
  tebrikler artık üç katlı integrallere dair bir takım bilgiler öğrendiniz.
  
  en azından laf arasında duyduğunuz "lan oğlum ders çalışıyorum diyorsun gören de 3 katlı integral çözüyorsun sanacak" gibi şeylerde hafif ürkmeler, gerilmeler, heyecanlanmalar, "o ne ola ki?" gibi durumlar yaşamazsınız.
  
  3 katlı integraller iyi çocuklardır, tanısanız siz de seversiniz.
  
  sabırla okuduğunuz için teşekkür ederim.
  
  herkese iyi çalışmalar ve başarılar...