hesabın var mı? giriş yap

  • çocuğunu spor yapmaya teşvik etmek için onu üst üste iki galibiyet aldığı takdirde ödül kazanacağı bir turnuvaya sokmak isteyen ebeveynlerin öğrenmesi gereken matematik sorusudur.

    soru harvard üniversitesi'nde matematiksel istatistik profesörü olan frederick mosteller tarafından yazılmış `fifty challenging problems in probability with solutions` kitabında geçmektedir.

    ---
    soru şu şekilde:

    diyelim ki mahmut'un babası zaten hali hazırda bir tenis kulübünde tenis oynayan mahmut'u daha çok spor yapması için teşvik edebilmek adına mahmut'a kazanırsa ödül kazanabileceği bir turnuvaya katılma seçeneği sunuyor.

    babası mahmut'a şunu söylüyor:

    toplam üç maç yapacaksın ve bu maçlardan ikisini üst üste kazanabilirsen ödülü kazanırsın. bu üç maçtan ikisini ya bana karşı ya da tenis kulübünün en iyi oyuncusu olan hüso'ya karşı oynayacaksın. aynı kişiyle iki maç üst üste oynamak yasak. maç sırasını ister hüso - baba - hüso şeklinde, ister baba - hüso - baba şeklinde seçebilirsin.

    hüso'nun babadan daha iyi bir tenis oyuncusu olduğu bilindiği durumda mahmut'un kazanma ihtimalini arttırmak için hangi maç sıralamasını seçmesi gerekir?

    ---

    eğer soruyu hiç düşünmeden düz mantıkla cevaplarsak "hüso babasından iyi oynuyorsa hüso'ya karşı daha az maç yapması iyidir. o zaman baba-hüso-baba şeklinde yapsın ki kazanma ihtimali artsın" şeklinde cevaplayabiliriz.

    ancak bu yanlış cevaptır ve baba-hüso-baba sıralaması mahmut'un kazanma ihtimalini düşüren sıralamadır.

    peki neden?

    dikkat ederseniz babası mahmut'a teklifini söylerken mahmut'un "üst üste" iki maç kazanması gerektiğini söylüyor. yani aslında istediğimiz şey sadece mahmut'un toplam iki maç kazanması değil, aynı zamanda mahmut'un bu iki maçı art arda kazanması.

    yani diyelim ki mahmut babasından iyi oyuncu ve baba-hüso-baba karşılaşmasında babasını iki defa yendi ve hüso'ya yenildi. bu durumda mahmut yine de üst üste iki maç kazanmış olmayacağı için ödülü alamaz.

    fark ettiyseniz mahmut'un üst üste iki maç kazanabilmek için daima ikinci oynadığı maçı kazanması gerekir. yani aslında mahmut'un maçı kazanabileceği her ihtimal mahmut'un ikinci oynadığı maçı kazandığı ihtimallerden biridir. bu durumda ortaya mahmut'un kazanma ihtimalinin daha yüksek olduğu maçı koymak mahmut'un kazancına olacaktır.

    yani mahmut'un kazanabilmesi için seçmemiz gereken sıralama hüso-baba-hüso sıralaması olacaktır.

    tabii çözmeye çalıştığımız soru bir matematik sorusu olduğu için yukarıdaki cevap sezgisel bir cevap ve bu soruyu bu şekilde cevaplamak yetersiz olacaktır. bu sebepten cevabımızın kesin doğru olduğunu görebilmek için birkaç işlem yapalım.

    öncelikle olasılık hesabını yapabilmek için mahmut'un kazandığı bütün kombinasyonların bir tablosuna ihtiyacımız var. bu tabloyu direkt sorunun sorulduğu kitaptaki haliyle buraya ekliyorum: tablo

    tabloda baba, ingilizce father kelimesinin kısaltması f harfi ile, şampiyon ise ingilizce champion kelimesinin kısaltması olan c harfi ile gösterilmiş. iki farklı dizilim için de mahmut'un kazandığı maçlar win kelimesinin kısaltması olan w harfi ile, kaybettiği maçlar ise lose kelimesinin kısaltması olan l harfi ile gösterilmiş.

    tabloların ikisinde de mahmut'un ödülü aldığı durumlar mevcut.

    f ve c kısaltmaları mahmut'un babasına ya da hüso'ya karşı kazanma ihtimallerini temsil ediyor.

    örneğin ilk tablodaki w-w-w diziliminde olasılık kısmına fcf yazılmış. bu durum mahmut'un babasını, şampiyonu ve babasını yendiğini gösteren kısaltmadır.

    mahmut'un babasını yenme ihtimalinin hüso'yu yenme ihtimalinden büyük olduğunu biliyoruz.

    bu durumda f > c eşitsizliğine sahibiz.

    mahmut'un babasına karşı kazandığı maçlara f, hüso'ya karşı kazandığı maçlara c, babasına karşı kaybettiği maçlara 1-f ve hüso'ya karşı kaybettiği maçlara 1-c değerlerini veriyoruz.

    olasılık hakkında bilgi sahibi olmayanlar mahmut'un kaybettiği maçlara neden 1-f ya da 1-c değerlerini verdiğimizi anlayamayabileceğinden bu değeri neden verdiğimizi açıklayayım:

    diyelim ki mahmut'un babasına karşı kazanma ihtimali %100. bu durumda mahmut'un kazanma ihtimaline 1 deriz.

    eğer mahmut'un kazanma ihtimali %60 ise bu durumda da kazanma ihtimaline 0.6 deriz.

    mahmut'un babasına karşı kazanma ihtimali 0.6 ise kaybetme ihtimali de 0.4 olacaktır.

    bu durumda mahmut'un babasına karşı kaybetme ihtimalini bulmak istiyorsak, 1 sayısından kazanma ihtimalini çıkararak kaybetme ihtimalini bulabiliriz. örneğin 0.6 olduğu durumda 1 - 0.6 = 0.4 değerini buluruz.

    şimdi iki dizilimin de ilk sırasına bakalım.

    ilkinde fcf ikincisinde ise cfc.

    mahmut'un babasına karşı iki kez kazanma ihtimalinin şampiyona karşı iki kez kazanma ihtimalinden yüksek olduğunu biliyoruz. bu durumda fcf değeri cfc değerinden yüksek olacaktır.

    bu durumda fcf değerini f + c + f olarak, cfc değerini de c + f + c olarak düşündüğümüzde, değeri yüksek olan toplama işleminin bize mahmut'un kazanmasının daha olası olduğu durumu verdiğini görebiliriz.

    bu bilgiye dayanarak tablodaki bütün durumları birbiriyle toplayıp hangi değerin daha yüksek olduğunu bulalım. böylelikle hangi dizilimin toplam değeri daha yüksek çıkarsa o dizilimin mahmut için avantajlı olduğunu görürüz.

    toplama işlemi: görsel

    toplama işlemine göre sonucumuz baba-hüso-baba durumunda 2f+3c+2 ve hüso-baba-hüso durumunda 3f+2c+2

    iki tarafta da +2 değeri olduğu için eşitsizliği 2f + 3c ve 3f + 2c olarak sadeleştirebiliriz.

    en başla f > c eşitsizliğini belirtmiş ve değeri yüksek olan tarafın mahmut için daha karlı taraf olacağını söylemiştik.

    bu durumda 2f+3c < 3f + 2c olacağından, hüso-baba-hüso seçiminin doğru seçim olduğunu görürüz.

    kitabı okumak isteyenler için: pdf

  • (bkz: nuri leflef kundura cilası)

    pazar öğleden sonraları ayakkabıları, serili gazetelerin üzerinde boyarken o tanıdık koku yayılırdı eve. fırçayı sallarken keyifli keyifli ıslık da çalardı bazen. boya sandığıyla sokaklarda gezdiği çocukluk yıllarını, öğle sıcağında bir ağacın altında içtiği gazozun tadını hatırlatıyordu belki de. yeni yeni anlayabiliyorum canım babam; biz büyüdük, sen gittin. mekanın cennet olsun.

    edit: mesajlarıyla yüreğimize dokunan tüm dostlara selamlar...

  • dünyada bir milyardan fazla sigara içicisi bulunur ve her gün 15 milyardan fazla sigara satın alınmaktadır. bu sayının ise artması beklenmektedir.

    sigara filtreleri, doğada bozunması birkaç yıl alan bir tür plastik olan selüloz asetattan üretilir. sigaralar yalnızca abd'de her yıl 90.000 yangına neden olmaktadır ve orman yangınlarının önemli bir nedenidir ancak sigaranın okyanus üzerindeki etileri daha da büyüktür.

    atılan sigara izmaritleri kanalizasyonlara oradan nehirlere ve en sonunda denize taşınmaktadır. sigara izmaritleri, plaj temizliklerinden toplanan en yaygın çöp kalemidir. sigara izmaritleri dünya çapında yıllık 845.000 ton çöp anlamına gelmektedir.

    sigara izmaritleri balıklar, deniz kuşları ve kaplumbağalar tarafından yiyecek sanılır yenir. sahile vuran ölü hayvanların midelerinde sıklıkla bulunur. izmaritlerinin suda serbestçe yüzerken yaydıkları kimyasallar da (özellikle nikotin ve etilfenol) deniz yaşamı için zehirlidir.

    bir litre suya atılan tek bir sigara izmaritinin yaydığı toksinler, suda bulunan küçük balıklar ve su piresi gibi planktonik organizmalar için öldürücü dozdadır. her yıl atılan beş trilyon sigara izmariti, çin'deki üç boğaz barajı'ndaki (dünyanın en büyük barajı) tüm suyun, su yaşamı için tamamen ölümcül hale gelmesi için yeterlidir.

    tüm bu zararların haricinde, sigara filtreleri, sigaranın insanları bile tam olarak azaltmadığı gibi yarattığı koruyuculuk algısı ile sigara kullanmaya teşvik etmeye ya da bırakmaya daha az istek duyma gibi etkileri olduğu görülmüştür. filtrelerde bulunan 12.000 selüloz asetat lifi, doğrudan akciğerlere solunabilir ve solunum hastalıklarını tetikleyebilir.

    sigara üreticileri insanlar için daha güvenli ve doğayı daha az kirleten filtreler üretmek için denemeler yapsa da henüz pazarda yaygın bir şekilde kabul gören bir filtre türü üretmeyi başaramamışlardır.

    kaynak: science focus

  • eğer ki bu eyleme karşılık olarak "ya sapık mısın sen ya salak şey" gibi bi' cevap alıyorsanız, bilin ki karşınızdaki bir türk kızıdır, kaçın. eğer ki melüm melüm bakışlarla birleşmiş dingin soluk alış verişler duyuyorsanız, bilin ki karşınızdaki kız ecnebidir, ingilizce konuşmayı deneyin. eğer ki siz bunu söyledikten sonra hemen kaybolmuşsa ve etraf sessizse bilin ki o bordo berelidir ve merak etmeyin o sizi bulur.

  • eski roma'da "koruyuculardan kim koruyacak" anlamina gelebilecek unlu bir soz obegi.. asagidaki gibi bir cok soruyu da cagristirabilecek fesat bir soru;

    - sorguculari kim sorgulayacak?
    - yoneticileri kim yonetecek?
    - kurtaricilardan kim kurtaracak?
    - telefonlarimizi dinleyenleri kim dinleyecek?
    - gozetleyenleri kim gozetleyecek?
    -ozgurlukleri sinirlama yetkisine sahip olanlarin ozgurlukleri sinirlama ozgurluklerini kim sinirlayacak?
    - harcamalarimizin hesabini sormaya yetkili olanlarin harcamalarinin hesabini kim soracak?
    - yasalara uygunlugumuzu denetleyenlerin yasalara uygunlugunu kim denetleyecek?
    - ozgurlukleri kotuye kullananlari engelleme yetkisine sahip olanlarin, yetkilerini kotuye kullanmalarina kim engel olacak?

    boyle gider..