hesabın var mı? giriş yap

  • yeni çıkan çiftlere salça olunup yanlarında takılınmaz. selam verip, bir bahane bulunup kaçılır. rahat bırakılır.

  • devrimlerini hazmedeyen şerefsizlerin güya dalga geçtiği cumhurbaşkanı. halbuki bir şapka devrimi de babaları yapsaydı da bu piçlerin, doğmasalardı ne güzel olurdu.

  • allah belanızı versin. hiçbir suçu günahı olmayan bir gencin başını yediniz. herkes cezasını kendi vermeye kalkarsa işte bu olur. suçlama ne kadar büyük olursa olsun. suçun cezasını devlet vermeli şahıslar değil.

  • matematik öğrenmeye ilk başladığım zamanlar bir ali nesin kitabında görüp ilk başta anlamlandıramadığım, ancak zamanla matematik tecrübemin artmasıyla kafamda mantıklı bir zemine oturtabildiğim matematik sorusudur.

    bu soruyu ilk gördüğümde bir arkadaşıma göstermiş, üzerine saatlerce düşünüp tartışmış, bir süre sonra cevabı konusunda fikir ayrılığına düşüp birbirimize kırıcı cümleler sarf etmiş ve sonunda kavga etmiştik. biriyle kavga etmeme sebep olan ilk matematik sorusu bu olduğundan gönlümde yeri başkadır.

    sorunun sınırları belli olan sonsuz bir zaman dilimi içermesi bile sonsuzluk kavramına aşina olmayanlar için başlı başına kafa karıştırıcı olması bir yana, sorunun cevabı genellikle insanın sağduyusuna ters olduğu için kişide epey kafa açıcı bir etki bırakır.

    soruyu ve cevabını yazmadan önce sorunun cevabının sebebini anlayabilmek için okuyucuları sonsuzluk kavramıyla ilgili olan şu iki girdiye göz atmalarını tavsiye ediyorum:

    sonsuzluk oteli

    hangi sonsuzluklar birbirine eşittir

    bu girdileri direkt okumasanız bile cevabı zihninizde mantıklı bir zemine oturtamadığınız takdirde geri dönüp okumanızı tavsiye ederim.

    sorumuz şu şekilde:

    boş bir odamız ve bu odanın da açık bir penceresi var. odanın dışında mahmut, içinde ise hüso bulunmakta. saat tam olarak 11:59. yani 12'ye 1 dakika var. mahmut'un yanında her biri 1,2,3,4... şeklinde numaralandırılmış sonsuz adet top var.

    mahmut bu 1 ve 2 numaralı topları saatin 12 olması için kalan süre olan 1 dakikanın 1/2 miktarı süresinde, yani yarım dakikada odanın içine atıyor ve hüso da bu toplardan 1 numaralı olanı anında pencereden dışarı atıyor.

    daha sonra mahmut 1 dakikanın 1/4 miktarı sürede hüso'nun olduğu odaya 3 ve 4 numaralı topları fırlatıyor ve hüso hiç zaman kaybetmeden pencereden 2 numaralı topu atıyor.

    bu işlem mahmut'un 1/8 dakikada 5 ve 6 topları atarken hüso'nun 3 numaralı topu dışarı atması, mahmut'un 1/16 dakikada 7 ve 8 numaralı topları atarken hüso'nun 4 numaralı topu dışarı atması şeklinde sonsuza dek devam ediyor.

    saat 12 olduğunda odada kaç top vardır?

    bu soruya ilk görüşte cevap veren biri büyük olasılıkla "odada sonsuz top vardır çünkü hüso'nun dışarı attığı her top için mahmut odaya iki top atmıştır, böylelikle mahmut'un her topu dışarı atması mümkün değildir" şeklinde cevap verecektir.

    bu cevap doğru değil.

    saat tam 12 olduğunda odanın içinde 0 top bulunur.

    peki nasıl?

    ali nesin kitabında bu soruyu kümeler teorisi kullanarak matematiksel notasyonla yaptığı işlemler vasıtasıyla cevaplıyor ancak benim niyetim bu değil. ben bu sorunun hiçbir işlem yapılmadan sadece sezgisel olarak anlaşılmasını sağlayabilmek için çaba sarf edeceğim. ancak yine de yazının sonunda işlem yoluyla çözümünü görmek isteyenler için kitabın bir linkini de bırakacağım.

    şimdi düşünelim.

    bu soruya iki farklı yaklaşım biçimi var:

    1- odaya atılan toplar üzerine düşünmek.
    2- odadan dışarı atılan toplar üzerine düşünmek.

    biz birinci yolu kullandığımızda odaya atılan top sayısı odadan dışarı atılan top sayısından fazla olduğu için ne olursa olsun odada top bulunacağı fikrine vararak hataya düşmüş oluyoruz. zaten sonsuzluğun güzel tarafı da bizi bu tür hatalara düşürme imkanının sonsuz olması.*

    ikinci yolu kullandığımızda ise atılan toplara odaklanacağımızdan saat 12 olduğunda odadan atılmamış hiçbir top bulamayacağımızı, dolayısıyla odanın içinde toplam 0 top olabileceğini fark ederiz.

    nasıl?

    diyelim ki saat 12 ve biz odada 0'dan fazla miktarda top olduğunu kanıtlamak istiyoruz. bunun için sonsuz top saymamıza gerek yok. odanın içinde yalnızca bir top olsa bile odanın içinde 0 top olmadığı sonucuna varmış olur ve 0 top sonucumuzu çöpe atmış oluruz.

    sorunun başında çaktırmadan her topun numaralandırılmış olduğu bilgisini vermiştik. şimdi ise odanın içinde bir top bulmak istiyoruz.

    mahmut'un odaya attığı topların her birinin bir numarası olduğundan, eğer odanın içinde bir top varsa, bu topun numarası kaçtır?

    yani özetle, eğer biz bu odanın içinde bulunan herhangi bir topun ismini verip "şu numaralı top odada bulunur" diyebilirsek odanın içinde 0 top olmadığını, eğer bunu yapamazsak da odanın içinde 0 top olduğunu kanıtlamış oluruz.

    düşünmeye devam edelim.

    1/2 zamanda 1 ve 2 toplarını içeri atmıştık ama hüso 1 numaralı topu dışarı atmıştı. bu durumda odanın içinde 1 numaralı topun var olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz.

    1/4 zamanda 3 ve 4 numaralı topları atmıştık ama hüso 2 numaralı topu dışarı atmıştı, bu durumda 2 numaralı topun da odada var olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz.

    3 numaralı top için 1/8 zaman dilimini, yani 3. turu, 4 numaralı top için 1/16 zaman dilimini, yani 4. turu 5 numaralı top için 1/32 numaralı zaman dilimini yani 5. turu gösterebiliriz. böylelikle 1,2,3,4 ve 5 olmadığını da biliyoruz.

    buradaki örüntüyü fark eden olmuştur.

    biz diyelim ki odanın içinde x numaralı topu arıyoruz. bu durumda biz kesin olarak bu x numaralı topun odadan dışarı 1/2^x zaman dilimine denk gelen turda atıldığını biliriz.

    11:59 ile 12:00 arasındaki 1 dakikayı matematiksel açıdan sonsuza dek bölebileceğimizden, 1/2^x sayısındaki 2^x değeri için hiçbir sınırımız yoktur. yani biz içeri her ne kadar tüm turlarda içeriden dışarı atılan top sayısının bir fazlasını içeri atıyor olsak da içeri alınan top sayısı da dışarı atılan top sayısı da sayılabilir sonsuzluk değerlerine sahip olduğu için birbirine eşit olacaktır.

    yani içeri sonsuz top atılırken dışarı da sonsuz top çıkacağından ve her iki sonsuzluk da sayılabilir sonsuzluklar olacağından, saat 12:00 olduğunda içeri atılan top sayısı ile dışarı atılan top sayısı eşit olacaktır.

    bu olay tıpkı yukarıda linkini bıraktığım yazılardaki sonsuzluk oteli durumuna ve sayılabilir sonsuzlukların eşlendiği ikinci yazıdaki cantor durumuna benzer.

    olayı zihninde oturtamayanlara tekrar yukarıdaki yazıları okumalarını tavsiye ederim.

    sorunun geçtiği kitap linki: matematik ve gerçek sayfa 29

    (bkz: matematik ve gerçek)

  • inşallah aynı espriyi cb sözcüsü ibrahim kalın'a da yapmaz dediğim kötü şaka.

    edit: vücut yapısından bahsediyorum, fesatlık yapmayın.

    +ibrahim kalın mısın doğru söyle?
    - efendim ben kalınım, muharrem ince
    salonda gülüşmeler falan...

  • dünyanın ilk romanı olduğu kabul edilen, 1021 yılından önce japon bir kadın tarafından yazılmış, genji adındaki birisinin hayatını konu alan romandır. henüz türkçe çevirisi bulunmamaktadır. türkçe adı genji'nin hikayesi olarak çevrilebilir.

    okumak isteyenler için ;
    ingilizce
    asıl hali
    modern japonca

    hikayenin ana karakteri genji, imparatorun en sevdiği cariyesi kiritsubo’nun oğludur. koreli bir bilge, genji’nin ileride çok parlak bir kaderinin olacağını söyler ancak genji’nin annesi diğer cariyelerin oğullarının arasında yaşanan kıskançlıktan ötürü hasta olur ve ölür. imparator bu trajik ölümden ötürü bir süre kendinden geçer ancak daha sonra başka bir cariye bulur ve yeni cariyesi ona eski aşkını hatırlatır.

    sarayda genji’nin arkasında duran kimse olmadığı için imparator genji’yi saraydan gönderir ve kendisine sıradan bir birlik kurarak bu birliğin üyesi yapar. bu sırada imparatorun lady kokiden’den olan en büyük oğlu tahtın varisi seçilir.

    genji büyüdükçe çok yakışıklı ve çok yetenekli olmuştur, herkes kendisine özenir ancak tahtın varisi lady kokiden ve ailesi kendisinden korkmaktadır. romanın ilk kısmı genji’nin saraydan ayrıldıktan sonraki ilk zamanlarını ve genji’nin evliliğini, ilk oğlunun doğuşunu anlatır.

    bu sırada imparator ölür ve lady kokiden’in oğlu yönetime geçer. genji’nin bazı entrikaları skandala sebep olur ve bu sebeple kendisi başkentten kovulur, birkaç yıl suma’da yaşamak zorunda kalır. hikayenin ikinci kısmında genji eski bir devlet görevlisiyle ve onun kızı akashi ile tanışır.

    yıllar sonra genji tekrar başkente döndüğünde imparator tahttan çekilmek zorunda kalır. genji tekrar saraydaki konumuna gelebilmiştir ve akashi’nin bir kızı olmuştur. daha sonra genji uzun sayılacak bir yolculuğa çıkarak başkentten ayrıldıktan sonra kendisini koruyan, kendisine destek olan herkesin yanına giderek şükranlarını iletir. genji tekrar saraya döndüğünde üçüncü kez evlenir ve üçüncü prensesten bir erkek çocuk doğar. bu çocuk daha sonra budist din adamı olur.