wilson teoremi

• p asal sayı ise (p-1)!=-1(mod p) dir diyen teorem. olay bir sayının asal olup olmadığını anlamak ise bir işe yaramaz. (p-1)!'i bulana kadar çok daha güzel yöntemlerle o asal olup olmadığı bulunabilir. (bkz: wilson teoreminin karsiti)
• (bkz: keske wilson civileri kullansaydik)
• kendisi aslında bir matemetikçe bile değildi, bir hakimdi. matematikçi bir arkadaşıyla yemek sırasında bu konudanasal sayılar bahsederlerken, ortaya atılan bu teoremi daha sonra arkadaşı matemeatik çevrelerine bunu wilson söyledi diye tanıtınca bir anda ünlü oldu.
• şöyle kanıtlanabilen teorem:
  
  önce bir tablo çizip içini kuvvetin p'den kalanıyla/mod p'yle dolduralım:
  
  üs.........| 1........... 2...........3......................p-2........... p-1
  
  1...........| 1.................................................................. 1
  2...........| 2.................................................................. 1
  3...........| 3.................................................................. 1
  ..............| ................................................................... 1
  p-1.........| p-1.............................................................. 1
  
  burada üs p-2 ise kalanlar hep farklıdır. bu değerlerin çarpımının kalanı ile üs 1 ikenkilerin çarpımının bölümününki, üslerin farkının, yani p-3'ün altındakilerin çarpımının kalanına eşittir. p-3'ün altındakilerin çarpımı da 1'e denk olur. p-1'in altında da aynı sonucu aldığımız için 2'nin altından da 1 çıkar. her çift sayının altından da 1 çıktığını böyle kanıtlayabiliriz. buna göre her tek sayının altından çıkan sonuçlar da eşit olmalıdır. dolayısıyla, 1'in (ve diğer teklerin) altından 1 ya da -1 sonucu çıkmak zorundadır. hangisi doğru?
  
  kendisi ve sağındaki sayıların hepsinin (üslerinin kalanları) birbirinden farklı olduğu bir t sayısı varsa, (p-1)!'in verdiği kalan, t^[p(p-1)/2]'ninkine yani -1'e denktir.
  
  (p-1)/2'nin altındaki kalanların her biri ya +1 ya da -1'dir. (p-1)/2 tekse, altında +1 veren bir sayının modülo p'de toplamaya göre tersinin verdiği kalan -1 olur. yani (p-1)/2'şer tane +1 ve -1 bulunacağı için çarpım -1'dir.
  
  1'in altındaki tüm kalanlar birbirinden farklıdır. bir önceki sayıyı belli bir x sayısıyla çarpıp p'den kalanını bularak oluşturduğumuz dizinin periyodu her zaman p-1'den küçük olsaydı, 1 en az bir kere tekrar görünürdü, yani aslında üsleri hep farklı kalanlar veren bir x sayısı bulunur. faktöriyel mod p'de -1'e denk olur.