lagrange çarpanları ^*

• çok değişkenli fonksiyonlarda bağlı ekstremum problemlerinin çözümünde (örn: elipsin içine çizilebilecek maksimum hacimli dikdörtgenler prizması) kullanılan yöntemdir. vektörel notasyonla düşünülürse ekstremum koşullarında fonksiyonların gradyent vektörlerininin doğrultularının aynı olacağı (tek kısıt için böyle çok kısıt altında kısıtların gradyenlerinin belli çarpanlar ile toplamı doğrultusunda.. -o çarpanlara da lagrange çarpanları denir) gerçeğine dayanır. kısıtlayıcı fonksiyonlardan bir parametre çekip amaç fonksiyonunda o parametreyi yok etmeye ve başarılı olamayıp bu işlemi baştan deneme olasılığına karşı geliştirilmiş kullanışlı bir yöntemdir. varyasyonlar hesabı konusudur.
• ingilizcesi lagrange multiplier olmakla beraber,ekonominin de bir hayli faydalandığı yararlı bir yöntemdir.çok yalın bir örnekle kolaylıkla anlaşılabilir.farzedelim ki;a ve b harfleri,iki malın(armut ve elma) tüketim miktarlarını temsil etsin.fayda fonksiyonu a ve b'ye bağlı bir fonksiyon olsun.burada ahmet adlı tüketicimizin amacı,her zaman olduğu gibi,bu malların tüketiminden alacağı faydayı maksimize etmektir,lakin a ve b'den sonsuz miktarda tüketmesi mümkün değildir.çünkü haliyle bu malların bir fiyatı vardır ve bahsi geçen tüketicimiz ahmet'i bu tüketim aşamasında sınırlandıran bir parametre vardır,o da geliridir.ahmet'in gelir fonksiyonu da iki malın fiyatlarına ve tüketildikleri miktarlara bağlıdır.örneğin armutun fiyatı pa, tüketildiği miktar a; elmanın fiyatı pb,tüketildiği miktar ise b olsun.bu durumda i ile ifade ettiğimiz gelir fonksiyonumuz, i=pa x a+pb x b olur.bu bizim kısıtımızdır.^*
  lagrange denklemini burada şöyle kurarız:
  a ve b'ye bağlı u'yu(fayda fonksiyonunu),gelir kısıtlamasını göz önünde bulundurarak maksimize etmek için;
  l=u+k(i - pa x a - pb x b) daha sonra, l'nin a'ya,b'ye ve k'ye göre türevlerini alıp sıfıra eşitleriz.denklem sistemleri kolaylıkla çözüldüğünde,mümkün olan şartlar altında faydayı maksimum yapan,ya da başka bir deyişle,ideal olan a ve b miktarları bulunur.ayrıca bulunan k değeri de şu işe yarar: bu örnekte bize,gelir-ya da kısıt- bir birim değiştiğinde,faydanın-maksimize etmeyi amaçladığımız fonksiyon- k birim değişeceğini işaret eder.
  not: umuyorum ki bu yazdıklarım benim gibi sözlükte ders çalışanların işine yarar.^*` : swh`
• f(x) = bir fonksiyon
  lmda = lagrange multiplier
  l = lagrange fonksiyonu ise;
  k = a+b ; kısıt (constraint)
  
  l = f(x) - lmda * (k-a-b)
  
  lagrange fonksiyonunda lmda ile gösterilen şey lagrange multiplier'dır, olayı ise aslında f(x)'i kısıt'a göre maksimize edecek değeri vermesidir.
  
  bi de abisi olan hamiltonian multiplier vardır, bu da µ (bkz: mü) ile gösterilir.
  orda kısıt, tek bir linear koşul değil, zaman gibi süregelen bir faktör eşliğinde integral şeklindedir. hamiltonian'ın amacı da dönemsel olarak ilerleyen kısıtlara göre optimal path'i bulmaktır. ekonomide utility, wealth ve production functionlarda kullanılabilir, sigortacılıkta da kullanıldığına dair rivayetler vardır.
  hamiltonian normal bir lagrange fonksiyonuna legendre dönüşümü(integration by parts) uygulanarak bulunur. ordan sonra da perturbation function vs vs işin içine girer ve hayat zehir olur.
  
  kıssadan hisse babında bu olaylara girmemek girenleri uyarmak gerekir.
• http://img256.imageshack.us/…ngemultipliers1000.gif
  
  not: kırmızı renkle gösterilen ekstrem noktasını bulmak istediğimiz fonksiyon.
  koyu mavi renkli bölge kısıt fonksiyonu.
  açık mavi ikisinin kesişimi.
  
  diğer bir örnek: http://img256.imageshack.us/…agrangeconstraints.jpg
• esas olarak bize iktisat teriminin tanımını veren çarpanlardır. bir kısıt ve bir amaç fonsiyonunun bir araya gelmesi ile oluşmasından ötürü sınırlı kaynakların (kısıt) sınırsız ihtiyaçların (amaç) karşılanmasında kullanılması anlamını matematiksel olarak bünyesinde taşır.
• eli ağır çarpanlardandır. bir çarptı mı bir de yer çarpar.
• inşaat mühendisliğinde sonlu farklar yöntemiyle beraber kullanıldığında tadından yenmez.
• sumuklu kucuk bir cocuga soyle anlatilabilecek math konusu.
  ekonomi, muhendislik her alanda uygulanan yontemdir.
  sadece iki (veya belli sayida) sey secmek zorundaysak ve bu iki seye dair sadece birisi secildiginde miktar, fayda vs gibi bilgileri biliyorsak...
  iste hangi miktarlarda, ne kadar bu iki seyden secersek optimum ya da en fazla fayda (artik ilgilendigin alan neyse) elde ederizi hesapladigimiz matematiksel yontem.
• ingilizcesi lagrange multipliers olan lagrange çarpanları, kısıtlamalara tabi bir fonksiyonun yerel maksimumını veya minimum değerini bulmak için matematikte kullanılan bir tekniktir. lagrange çarpanları, bir sistemin denge noktasını belirlemeye yardımcı olmak için ekonomide çok sık kullanılırlar. mikroekonomideki en klasik örnek, tüketici yararını en üst düzeye çıkarma problemidir. bir tüketici, harcanabilir gelirlerini malların edinimi üzerine en iyi şekilde nasıl harcayacağını belirlemek ister.lagrange multipliers
• bu çarpanla çözülen problemler uzun yoldan çarpansız da çözülür.