boyut analizi

• pratikte nerdeyse imkansız analizlerden biri. yükselen vs. alçalan, büyüyen vs. küçülen... bunu ukte olarak sözlükte değil, bir tez olarak makbul üniversitelerden birinde incelemek lazım, irdelemek lazım... boyutu küçümsersek; kaldırma kuvveti.
  (bkz: e esittir mc2)
• bir fizik problemini ifade eden parametreler, belirli fiziksel büyüklükler cinsinden ifade edilirler. hani ortaokulda hocalar bize "evladım o sonuç diye yazdığın 4.5 sayısı, yanında birimi olmadan anlamsızdır. 4.5 kilometre mi, 4.5 ton mu, 4.5 elma mı, neyse onu da yaz yanına" derlerdi ya, birim ve boyut mevzu budur.
  
  bu fiziksel büyüklüklerden bazıları daha alt büyüklükler cinsinden ifade edilebilir, ancak bir noktadan sonra elimizde birbiri cinsinden ifade edilemeyen büyüklükler, yani fiziksel boyutlar kalıyor. bu boyutları şöyle sıralayabiliriz:
  
  1. mesafe (l)
  2. kütle (m)
  3. zaman (t)
  3. elektrik yükü (q)
  
  örneğin, hız'ı değerlendirdiğimizde aslında mesafe/zaman (l/t) biriminde olduğunu görürüz. ya da kuvvet; kütle×ivme ya da tam ayrıştırırsak kütle×mesafe/zaman/zaman (m×l/t/t) boyutlarına sahiptir. (temel boyut olarak kütle yerine kuvvet seçildiğini de görüyoruz. o zaman kuvvet 'f' olmak üzere, kütle=f×t×t/l boyutlarındaki bir büyüklük olarak ifade edilir.)
  
  şimdiye kadar boyut analizini değil, boyut'u değerlendirdik. peki, boyut analizi nedir?
  
  fiziki bir durumu ifade eden matematik denkleminde, eşitliğin iki yanındaki büyüklüklerin boyutları da eşit olmalıdır. boyut analizinin çıkış noktası burasıdır. örneğin merkezcil kuvvet'i ele alalım: 'f' kuvvet, 'v' hız, 'r' de eğrilik yarıçapı olsun.
  
  f=mv²/r
  
  f'in boyutları: f; m×l/t/t
  m'nin boyutu: m; m
  v'nin boyutları: v; l/t
  r'nin boyutu: l
  
  denklemi boyutlar cinsinden yazalım :
  
  f=mv²/r
  m×l/t/t = m×(l/t)²/l
  m×l/t/t = m×l²/t²/l
  m×l/t/t = m×l/t²
  m×l/t/t = m×l/t/t
  
  görüldüğü üzere, eşitliğin iki tarafındaki boyutlar birbirine denktir. dolayısıyla, bu denklem fiziksel olarak anlamlı bir denklemdir.
  
  peki, bildiğimizden fazla bir şey vaadetmiyor gibi görünen bu boyut analizi ne işe yarar? henüz matematiksel ifadesini tam olarak bilmediğiniz bir fizik olayını formülize etmekte çok işe yarar efendim. yani çok güzel hipotez kurdurur bu boyut analizi.
  
  örneğin bir arabanın kaza yaptığında kaportasının deforme olma miktarını formülize etmeye çalışıyorsunuz. diğer değişkenleri sabit tutarak, mümkün olduğunca, sadece tek bir büyüklüğü değiştirerek deneyler yapıyorsunuz.
  
  kütleyi iki kat artırdım -> deformasyon iki misli arttı -> demek ki m boyutu var.
  hızı üç kat artırdım -> deformasyon 9 misli arttı -> hızın karesiyle orantılı olabilir. (l/t)²
  hızı 5 kat artırdım -> deformasyon 24.8 misli arttı -> hızın karesiyle orantılı olma ihtimali yüksek. (l/t)²
  
  o halde durumu şöyle formülize ederiz (deformasyonun parametreleri üzerine ilk hipotez):
  deformasyon = sabit × kütle × hız²
  l = sabit × m × l × l / t / t
  
  denklemin başına koyduğum sabit, iki tarafın denk olmayan boyutlarını birbirine eşitleyen bir bilinmeyen parametredir. birkaç deney ile değeri tam olarak tespit edilebilir. bu sabit tam da boyut analizi gereklerini sağlayan bir boyutta olmalıdır. bu nokta önemlidir. örneğin metre ve saniye cinsinden ifade ettiğimiz bir denklemin sabiti, başka bir birim sisteminde (inç, saniye) aynı değerde olmayacaktır. birimler arası dönüşüm yapılarak sabitin yeni birim sistemindeki değeri bulunur.
  
  hipotez deneylerle uyumlu tahminler yürütebiliyorsa, 'sabit' olarak ifade ettiğimiz parametrenin de hangi alt değerlere ayrıştırılabileceği araştırılabilir. bu sayede, newtonun kütleçekim formülündeki g sabitinde olduğu gibi 'kirli' bir denklem yerine, merkezcil kuvvet formülündeki gibi sabitsiz, 'temiz' bir formül yakalanabilir.
  
  ayrıca, sabit içermeyen bir fiziksel denklem üzerinde çalışıyorsanız, yazdığınız denklemin hesabına başlamadan boyut analizi yapmanız şiddetle önerilir. zira denklemin iki tarafının boyutları birbiriyle denk değilse, o denklemi doğrudan çöpe atabilirsiniz. [edit: ya da durun hemen atmayın! değeri 1 olan görünmez bir sabit olabilir.]
  
  edit: (bkz: fine structure constant)
• (bkz: birim analizi)
• facility location problemlerinde aday yerlerin karşılaştırılmasında, ölçülebilen ve ölçülemeyen etkenleri birlikte kullanan bir tekniktir.
  
  ayrıntılı bilgi için (bkz: tesis tasarımı) (bkz: haluk erkut)
• uzunluk = [l]
  
  kütle = [m]
  
  zaman = [t]
  
  uzunluk, kütle ve zaman kullanarak diğer fiziksel büyüklükler elde edilir;
  
  yüzey = [s] =[l].[l]
  
  hacim = [v] = [s].[l]
  
  hız= [v]= [l] / [t]
  
  ivme = [a] = [l] / [t].[t]
  
  kuvvet = [f] = [m].[a] = [m].[l] / [t].[t]
  
  iş = [w] = [m].[l].[l] / [t].[t]
  
  güç = [p] = [w] / [t] = [m].[l].[l] / [t].[t].[t]
  
  yoğunluk = [m] / [l].[l].[l]
• aslında boyut analizini lisede düzgün anlatsalardı insanlar o formülleri anlamlandırmakta bu denli zorluk çekmezdi. mesela güç nedir w/t birim zamanda değişen enerji, enerji nedir fdx uyguladığın kuvvet çarpı yol hatta neredeyse herseyi anlamak kolaylaşıyor.
  planck sabitini alalım ne anlama geldiğini bulmak oldukça basit
  e=hf e nin birimi kgm^2/sn^2
  f ise frekans yani birimi 1/sn birim zamanda yapılan hareket de denilebilir basitçe
  şimdi h=e/f yani kgm^2/sn^2*sn ne çıktı kg m^2/s m/s hız anlamına gelir
  yani kütle çarpı hız çarpı yol oda m.v.l yani açısal momentum
  ya da türev bilen bir insan için ivme hız yol bunlar anlamlıdır ancak lisede bunları çocuklara kutsal kitaplardan inmiş gibi anlattıkları için mal oluyorlar.
  sadece birim analizi bilerek bile bir çok fizik sorusu kolaylıkla çözülebilir çünkü açısal da olsa doğrusal da olsa hız l/t dir elektrik enerjiside mekanik enerjide hatta ruhsal enerji bile ml^2/t^2dir. ancak eşitlikleri tamamlamak için kullanılan bazı sabitler vardır.mesela pi sayısı ne? dairenin çevresinin çapına oranı 2pir/2r ne kaldı pi. pi bir sabittir o oranı eşitlemek için zorunlu çıkmıştır bir birimi yani bir uzunluğun başka bir uzunluğa bölümü arada birim kalmıyor sadece oran. incelemek isteyenler için fizikte bir başka birimsiz sabit, ince yapı sabitidir.