sayı doğrusu

• ilkokul günlerinde işin özünü daha iyi kavrayalım diye işlemlerimizi bunun üzerinde göstermemiz istenirdi.
  sayı doğrusunda çarpa bölme yapmak kabustur.
• tam orta noktası sıfır, sağ tarafı artı, sol tarafı eksi sonsuza giden bir çizgiden ibarettir. hakkında anladığım tek şey bu olduğundan olsa gerek bir dönem kendimi salak hissetmemin yegane sebebidir. halen de matematikcilerin dahi olduğunu düşünüyorum..
• ilkokul çağlarında öğrencilere matematik öğretmek için kullanılan, sonraki yıllarda istisnasız tüm yabancı dil öğretmenlerinin zaman anlatmak için kullandıkları yatay çizgi. ortadaki sıfır noktası içinde bulunulan an, sağa doğru sonsuza giden artı kısım geleceği, sola doğru sonsuza giden eksi kısım ise geçmişi ifade eder.
  
  bazı psikopat öğretmenler ^* sırf fantazi olsun diye bu evrensel çizgiyi dikey çizerek öğrencilerinin beynine tecavüz eder, sonra da bu şekilde bi yere varamayacağını anlayıp yatay çizgiye geri dönerler...
• kader varsa eğer zaman bir çember dolaşıp duruyoruz. aslında yaşanacaklar bundan önce yaşananların tam olarak aynısı. hani kaderin çizilmiş derler ya, çocukken hangi verimli coğrafyaya doğmuşsak gelecekte de o derece kazançlıyız.
  
  fakat öyle işlemiyorsa doğanın çarkı? ölüme yakın doğanlar kadere inanmazlar. bir sayı doğrusunun üzerinde sağa doğru olan akıntının aksine sola doğru kürek çekerler. çünkü orda çocuklukları vardır, çünkü orda masumiyetleri vardır. fakat sayı doğrusunun eksi tarafına düşmeyecek kadar da kuyruğu dik tutarlar. onlar sağa doğru değil, sola doğru ölürler. onlar sıfır noktasında doğar, orada ölürler..
• gerçel sayılar, sayi dogrusunu tam olarak doldurabilir. fakat tamsayilar ve dogal sayilar kumesi sayi dogrusunu tam olarak doldurmaz.
• ölümcül teorik düzeylere gitmeden, biraz daha başa gidersek; "<" veya ">" sembolü ile sıralanabilen bir küme, her zaman için bir doğru üzerinde gösterilebilir. burada "sıralanabilir küme"den anlaşılması gereken; birbirinden farklı her elemanın, "<" ve ">" bağıntılarıya sıralanabilmesi ya da legâl olarak karşılaştırılabilmesi. bu kısa açıklamanının ardından şöyle başlayabiliriz:
  
  * {0, 1, 2, 3, ...} olarak bildiğimiz doğal sayılar kümesi üzerine sıkça söylene gelen, "doğal sayılar doğrusu" diye bir şey yoktur. "doğal sayıları doğru üstünde gösterme" vardır. çünkü doğal sayılar, ip üzerine dizilmiş boncuklara benzerler. yani bu halleriyle bir doğru oluşturmazlar.
  
  * bu durum, tam sayılar kümesi olan {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} için de geçerlidir. yani boncuk benzetmesi burada da geçerlidir. çünkü tam sayılarla doğal sayılar yapı olarak aynıdır. (0'ı simetri merkezi olarak alıp, doğal sayıları kopyaladıktan sonra diğer yöne yapıştırıp, başlarına "-" sembolü konursa tam sayılar elde ediliyormuş gibi düşünebiliriz kısacası.)
  
  * rasyonel sayılar kümesi de (yani negatif olanlar da dahil olmak üzere kesirlerin oluşturduğu küme, örneğin; 0, -1/3, 1001/345, 4/1, -10/2 vb... ) bir doğru oluşturmaz. çünkü;
  
  bir rasyonel sayı her zaman için, (a ile b tamsayı ve b, 0'dan farklı olmak üzere) a/b yapısındadır. basit anlamda, "rasyonel sayılar kümesinin, bölme işlemi sayesinde oluştuğu"nu söyleyebiliriz. bu durumda, örneğin 0 ile 1 arasında sonsuz rasyonel sayı vardır. mesela 1/2, fakat 0 ile 1/2 arasında da sonsuz rasyonel sayı vardır. buradan anlaşılacağı üzere, farklı herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayı vardır aslında. bu özelliğe "yoğunluk", bu özelliğe sahip kümelere de "yoğun küme" diyoruz. şimdi bundan hareketle, "sonunda doğru oluşturan bir kümemiz oldu" diye düşünülebilir ilk başta. "sonsuz sayı varsa, doğruyu doldurur bunlar" gibi, gayet akla yatkın bir önermedir bu. fakat ne yazık ki rasyonel sayılar da bir doğru oluşturmazlar. yani sürekli değildirler.
  
  en basitinden, "2 ½" (kare kök 2) veya pi gibi sayıların bir kesir olarak yazılamadığını biliyoruz. ve bu sayılara, yani kesirli olarak yazamadığımız sayılara "irrasyonel sayı" deniyor (yani rasyonel olmayan - bir oran olarak ifade edilemeyen). irrasyonel sayılar kümesinin de sonsuz elemanlı olduğunu biliyoruz. demek ki, rasyonel sayılar kümesi de doğrunun her bir noktasını dolduramıyor. özet olarak aslında bu, şu demektir:
  "bir uzunluk ifade eden her sayı kesir olarak yazılamaz"
  
  * son olarak, tanımı itibarıyla bu (hiç bir ortak elemanı olmayan) iki kümeyi tek bir küme altında toplarsak, bu kümeye de reel sayılar kümesi diyoruz. yani kesir olarak yazılabilen ve yazılamayan sayıları birleştirip tek bir küme haline getirdik. işte bu kez, bu kümenin bir doğru oluşturduğu düşünülüyor. sanki, rasyonel sayıları doğru üzerine serptiğimiz zaman oluşan açıkları, irrasyonel sayılar doldurmuş gibi...
  
  bu yüzden, adı geçen bu kümeler arasında, sıralanmış halleriyle bir doğru oluşturan tek küme (gerçel sayılar) olarak da bilinen reel sayılar kümesidir. zaten, bunun böyle oluşuna iyi bir örnek de, "cetvel aksiyomu" olarak bilinen önermedir. cetvel aksiyomu;
  doğru üzerinde bir nokta merkez olarak seçildiğinde, her reel sayının bu doğru üzerinde bir noktaya ve doğru üzerindeki her bir noktanın da bir reel sayıya karşılık geldiğini söyler.
  
  işbu entry, olayın daha fazla detayına girmeyi gerek görmemekte ve "kesir, sayı, küme" gibi bazı temel kavramları bilmeyi gerektirmekte olup, daha fazla lâf ebeliklerine girmeden ve maksadını aşmadan burada bitmelidir.
• ödev verildiğinde kocaman kocaman sayı doğruları sayesinde, sayfalar dolusu ödev yapmış gibi görünürdük.
  
  efendime söyleyeyim koltukların kabarması olsun, parmağı yalayıp defalarca sayfaları çevirmek olsun^*
  
  tembel öğrencinin en sevdiği matematik olayı.