modüler aritmetik

• bir limitin otesindeki sayilarin sayinin limite bolumunden kalana e$it oldugunu kabul eden aritmetik sistemi..
  
  mesela:
  
  4 mod 2 = 0
  8 mod 7 = 1
  1273771 mod 328 = 147
  
  gibi..
• (bkz: taban aritmetigi)
• sınırlı sayıdaki sonucun döngüsel olarak tekrarlandığı durumlarda bilincimizin ister istemez uyguladığı hesap sistemi. nerede mi gerekir ?
  
  - serkan bugün çarşamba de mi... 10 gün sonrası hangi güne denk geliyor söyle bi.
  - hmm perş.. cum.. cumar... (fıs fıs) .... cumartesi abi !!
  - hmmm peki 90 gün sonrası ?
  - eeee... eee... abi işim var..
  
  şimdi tanımımıza bakalım;
  sınırlı sayıdaki sonuç: haftanın sadece 7 günü var
  döngüsel olarak tekrar: dön baba dön 90 say dur tekrardan 7 tane günden birine denk geleceğiz
  
  peki o zaman bizim merak ettiğimiz de şudur:
  
  90 = ? (mod 7)
  
  cevap 90'ın 7 ile bölümünden kalandır. çünkü tam kısmının bir önemi burada yoktur. ne olsa dönüp dönüp tekrar aynı şeylere gelinecektir.
  
  kalan 6 olduğuna göre salı günü doğru cevaptır.
  
  peki biz 10 luk sayı sistemi kullanıyoruz. neden böyle ?
  
  şöyle açıklayalım. eski çağ insanısınız ve diyelim ki koyunları sayıyosunuz. saydınız saydınız sekiz oldu dokuz oldu morel (10) oldu, kurum (11) oldu piran (12) oldu , majisen (13) .. tartılan (14)... miyna (15) ....
  
  sonra bir an duraksadınız. oeehh dediniz, bu ne lan her sayıya başka isim mi verecez. naapalım o zaman ? tamam buldum ! 10 tane sayı ismi yaratalım, 10'u geçince de bir basamak arttıralım ve tekrar eski sayıları dizeleyelim, geçince bir basamak daha artsın öyle öyle gitsin. iki tane basamak için bütün sayıları kullanınca, üçüncü basamağa geçsin sonra bütün sayıları yine kullanırız. bitince tekrar artırırız. oh oh oh.. şıkıdım şıkıdım...
  
  kardeşime böyle anlatınca olayları çok seviyor da.
• bir aralar üniversite'ye giriş sınavlarında çıkan "2007^2007 sayısının 7 ile bölümünden kalan nedir?" tipinden soruları çözmekte kullanılan yöntemler bütünü.
  
  alakalı:
  (bkz: çinli kalan teoremi)
  (bkz: ayrık logaritma)
  
  cevap: 6.
• (bkz: fermatın küçük teoremi)
• saat 15:00 yerine 3 diyenler moduler aritmetik kullaniyorlar, saati (mod12) de soyluyorlar demektir.
• internetteki güvenlik protokollerindeki şifrelemelerdeki en çok kullanılan aritmetik sistemidir.
• kesirli sayıların mod'unun nasıl yapıldıgını bilen yoktur bu dünyada
• en basit anlatımıyla sayıların bir daire etrafını dizilmiş gibi düşünüldüğü sistem. örneğin kadranlı saat 12 ve dakikaları düşünürsek 60 modundadır. ve geçen farketmiş bulunduğum üzere hesap yapabilmeyi en basit şekilde gerçekleştirebildiğim sistemdir. mesela herhangi iki sayının toplamını hesaplamak için normalde bayağı efor sarfetmem gerekiyor, sayılar ne kadar küçük olursa olsun. zira soyut şeyleri kafamda canlandırıp işleyebilme konusunda ciddi sıkıntım var. ama bunu saat kadranını düşünerek yaptığımda anında hesaplayabiliyorum, çünkü sayılar o zaman bana açı gibi görünüyor.
• kesirlerde moduler aritmetik:
  
  a/b = x (mod m)
  
  a*c / b*c = (mod m)
  
  b*c = 1 (mod m) olacak sekilde ayarlamaliyiz.
  
  negatif sayilarda moduler aritmetik:
  
  -1 =x (mod 3)
  
  eksi birin eksini gormeden sunu sormami gerekiyor. bire hangi sayiyi ilave etmeliyim ki 3 olsun. 2 olur.
  
  -1 = 2 (mod3)
  
  -5/7 = x (mod9)
  
  -5*4/7*4 = ? (mod 9) 7*4=28 = 1 (mod 9)
  
  -20 = 7 (mod9)
  
  22 ile 15 aralarinda asal ise,
  
  22 ^a = 1 (mod 15)
  
  15'den kucuk ve 15 ile aralarinda asal sayilar kac tanedir: 1, 2, 4, 7 , 8 , 11, 13, 14 8 tanedir. o yuzden
  
  22^8 = 1 (mod 15 ) a = 1 olur.
  
  pratik yontem:
  
  a ile m ayri ayri asal ise,
  
  a= x (mod m)
  
  a^(m-1)= 1 (mod m)
  
  5^10 = x (mod 11)
  
  5^(11-1)=1 (mod 11)
  
  5 ^10 = 1 (mod 11)
  
  2.yol: 11 den kucuk 11 ile aralarinda sayilar: 1,2,...10 dolayisiyla 10dur. bu kuralda 1 dahıl edıyoruz.
  
  5^10= 1 (mod 11)
  
  ayrica
  moduler aritmetik sorularini kolaylastiran iki teori icin
  
  p asal sayi olmak uzere,
  1. wilson teoremi
  (p-1)!=-1 (mod p)
  
  p asal sayi ve a, p'nin kati olmayan pozitif bir tam sayi olmak uzere
  2. fermatin kucuk teoremi
  a^(p-1)=1 (mod p)