• eski yunandan beri kafaları karıştıran bir sorudur "matematiksel kavramların platonik bir gerçekliği var mıdır?" sorusu. 1905 üçlemesiyle einstein kant'ın mutlak uzay ve mutlak zaman kavramlarını gömdüğünden beri uzayın geometriksel modelleri üzerinde spekülasyon yapmaya veya yapılmasına alışır olduk. (bkz: string theory) (bkz: superstring theory) artık bırakın dört boyutu 10-20 boyutun varlığını savunabiliyoruz.

    burada ilginç bir şey ortaya çıkıyor. mesela genel görelilik teorisine `göre (doğruluğu kesinlikle yanlışlanamayan aksine doğrulanan bir teori olduğu düşünülürse, -her ne kadar graviton'dan halen haber olmasa da-) madde uzayı eğer. madde uzayı eğdiği zaman bizim için eskiden çok önemli olan ve 10 milyon basamağına kadar hesaplamaktan zevk aldığımız pi sayısı da eski önemini yitirecektir.

    yani bu şu demek. biz aslında hiç mükemmel bir çember görmedik. belki evrende mükemmel çember diye bir şey bile yok. matematiğin gerçek dünyanın bilgisinden süzülüp billurlaştığını kabul eden bir insan bile bu konuda platon'u anmadan edemiyor, açıklayacak şeylerin olduğunu düşünüyor.

    bu tartışma yeni değildir. eski yunan'ın pür zekası iki insan aynı şiiri yazmış mıdır? diye sormuştur. peki uzaktaki iki insan birbirinden habersiz nasıl aynı matematik teoremini bulmaktadır?

    işte matematiksel kavramların platonik gerçekliği denilen şey budur.
  • platonik gerçeklik ile kastedilen matematiğin evrenden ayrık olarak varolması, tüm evrensen olay ve kavramlara model teşkil etmesi lakin onları birebir karşılamaması halidir. bu matematiğin gerçekte hem keşif olduguna hem de icat olduğuna bir kanıt gibi görülebilir.

    platon'un idealarına göre bir at gördüğümüzde onun at olduğunu kafamızdaki at ideası ile karşılaştırarak nasıl anlayabiliyorsak ve atlardan bahsederken nasıl da at ideasına gönderme yapıyorsak gerçek evreni de matematiğin platonik evreni ile karşılaştırarak anlayabiliriz. lakin daha fazlasını yapamayız: fiziği kaldırıp yerine matematiği koyamayız, nasıl ki at'ı kaldırıp yerine at kavramını koyamıyorsak.

    bir de şöyle bir şey var tabi (bkz: panmateizm)
  • matematik anlatısının içeriği insan beyninin bir ürünü değildir.

    sanırım bu argümanın doğruluğunu test etmeye geçmeden önce matematik bilgisini ikiye ayırmakta fayda var. (bu ayrımın da insani türüne özgü kavrayıştan kaynaklandığı doğrudur.)

    birinci biçimi ile matematik, formal ve simgesel bir anlatım dilidir. bu dil, seçimlik gösterimleri kadar üzerine kurulu bulunduğu argümanlarında kapsandığı bir derinlikte insana özgüdür. yapısı ve kurgusu, insan zihninin çalışma ve kavrama biçimine uygunluk gösterecek biçimdedir. kavramlar ve olgular algılanış biçimleri ile yer etmiş; argümanlar, dış dünyanın öznel yorumlarına karşılık olacak şekilde kurulmuşlardır. özetle matematiğin birinci bileşeni onun formudur.

    matematik bilgisinin ikinci biçimi içeriğidir.
    matematik, argümanlarından, sistemlerinden ve gösteriminden bağımsız olarak bir şeyler anlatır. 1+2=3 gösterimi sadece bizim algımıza hitap etse de, bu gösterimde algımızdan bağımsız bir gerçeklik bulunur. evet, matematiğin üzerine kurulu bulunduğu kavramların bir çoğu dış dünyadan aşırma modellerdirler lakin bu modeller yine de gerçekten - ve algıdan - bağımsız bir anlatımı simgelerler. kimse bir'in iki'nin ya da üç'ün tek başına yeterli bir tanımını veremez ve kimse bunların insan algısından bağımsız olduğunu iddia edemez ama kanaatimce hiç kimse 1+2=3 bilgisinin sadece bir işlem, matematiksel bir gösterim ya da öznel bir algılayış biçimi olduğunu da söyleyemez.

    nasıl ki bir oluş dilde kendisine karşılık olan kelimelerden bağımsız var olabiliyorsa, matematik bilgisinin içeriği de aynı şekilde onu betimlemek için kullanılan dilden bağımsız olarak var olabilir. söz konusu işlem, aklın kainatı algılayışdan bir ayetin insan algısına tercümesidir sadece ve tüm tercümeleri ile birlikte bir tek ve aynı şeyi anlatır; 1+2=3.

    çok mu akılcı geldi? belki de öyledir. yine de bir başka örnek üzerinden bazı açıklamalar yapmak isterim. madem ağaçları seçtik ağaçlardan gidelim.

    gauss'a ithaf edilen, dünya'daki ağaç sayısı ağaçların yapraklarının sayısından fazla ise aynı sayıda yaprağa sahip en az iki ağaç bulunmalıdır bilgisini anımsayalım. bunun insan algısının bir ürünü olduğu iddia edilebilir mi? yargı, ağaçlardan, yapraklardan ve onları algılayışımızdan ayrık bir bilgi taşımaz mı gerçekte?. bu yargının bizim algılayışımızın yarı formal dilinde gösterimi, uzayın sadece bu bölgesinde mi anlamlıdır?

    hiç ağaç görmemiş olsak, ya da bir insanın değilde bir zürafanın veya fasulyenin gözlerinden görsek bile onları, bu bilginin doğruluğunu dolayısıyla da içeriğini reddedemeyiz. üstelik bunu, hiç bir zaman eşit sayıda yaprağı olan iki ayrı ağaç göremesek bile yapamayız.

    matematik kavramlarının platonik gerçekliği tam da budur bana göre: matematik, somut dünyadan soyut akla damlayan bilgilerin özleridir. gerçekte yokturlar ama asla da inkar edilemezler. kimse onları göremez ve ancak algılarımız ile sınırlı tercümelerini bilebiliriz. lakin aynı sebeple gerçekten uzakta olmanın koruması altındadırlar.

    newton ve leibniz'in sonsuz küçükler hesanını yakın zamanda bulmaları tepeden bakma bir anlayışla rastlantı, bilimsel işleyiş çerçevesinde sıradan bir olgudur. matematik bilgisi diferansiyelin sınırlarına kadar genişlemiş, pratik ihtiyaç bilgiye ulaşılmasına, ya da onun betimlenmesine, yol açmıştır. gerçekten de ikisinin de hemen hemen aynı zamanda yaptıkları sadece betimlemedir; diferansiyel hesabın bilgisini insan algısına tercüme etmektir.

    söz konusu kainat olduğunda pek de seyahat eden bir insan olduğumu iddia edemem. yine de evren'in hiç bir yerinde insanlarca 1+2=3 olarak anlatılmış bilginin yalanlanabileceğine inanmıyorum. kainatın hiç bir yerinde 1'in 2'nin ya da 3'ün karşılığı olabilecek bir oluş bulunmasa bile. hatta belki, tam da bu yüzden.
  • böyle bir gerçekliğin var olduğu şöyle iddia edilebilir:

    (her şey binary sistemde düşünülecektir)

    tanım: bir s string'ini (örnek s:01101101010011001100101) yazdıktan sonra duran p programlarının en küçüğüne cillop program denir. eğer s string'ini yazan p programının dosya boyutu bit cinsinden s'in bit sayısına eşitse (örneğin ikisi de 23 bit yer kaplıyorsa) s string'ine rastgele denir.

    formal aksiyomatik sistem: bir matematik sistemdeki tüm deyimlerin anlamlarından arındırılarak simgeler düzeyine indirgenmiş hali. aksiyomlar ve çıkarım kurallarıdan oluşur. her simgenin nasıl kullanılacağı tartışmaya yer bırakmayacak şekilde tanımlanmıştır. böylece, çıkarım kuralları yardımıyla sistemde kanıtlanabilecek her teorem simgeleştirilmiş (formalize edilmiş) olur.

    ıvır zıvır: 1024 bit yer kaplayacan olası tüm programların sayısını hesaplayalım --> 2^(1024)
    bir sıkıştırma algoritması yardımıyla 1024 bitlik programlardan bazıları 1024'den daha az bitle ifade edilebilir ama acaba tüm programları daha az bitle ifade eden bir algoritma yazılabilir mi? hayır yazılamaz. 1023 bite kadar tüm olası programların sayısı [ 2^1 + 2^2 + 2^3 + .... + 2^1023 = (2^1024)-2 ] 1024 bitlik programların sayısından 2 azdır. bunun anlamı en az 2 tane programın böyle bir genel algoritmayla -tüm programlara uygulanma zorunluluğu olan algoritma- sıkıştırılamayacağıdır. sıkıştırılamayan programlara rastgele demiştik. (string'i programla eşanlamlı kullanıyorum fakat bir yanlışlık yok. çünkü turing makinesinde uğraşmaktayız ama bunun pek bir önemi yok şimdi)
    eğer 10 bit veya daha fazla sıkıştırılabilecek programların sayısını hesaplasaydık 1024'te bir 1 gibi küçük bir olasılık olduğunu bulurduk.
    sonuç: rastgele programlar sonsuz tanedir.

    teorem: rastgele programların sayısının sonsuz olmasına karşın hangilerinin rastgele olduğunu ispat etmeye olanak veren hiçbir aksiyomatik sistem(diğer bir değişle algoritma) bulunamaz ve yazılamaz.

    ispat: (raa) bir string'in rastgele olduğunu ispat etmemize olanak veren bir algoritmanın var olduğunu ve algoritmanın kodlanmış halini içeren bir c fonksiyonun elimizde olduğunu düşünelim. c(n) fonksiyonu n sayısını girdi alarak n bitten oluşan ilk rastgele programı yazacak. (örneğin 3 aldı girdi olarak 000, 001, 010,...) deneyerek ilk rastege programı/string'i bulacak.

    bir i programı yazacağız bu program c(n) fonksiyonunu içerecek ve şu işlemleri yapacak:
    i programı kendi boyutuna(uzunluğuna bakacak) [uzunluk değeri c fonksiyonu kaç bitse onu da içerir] ve bu uzunluğun değerine -program kaç bitten oluşuyorsa- 1 ekleyerek c fonksiyonuna gönderecek.*bu durumda i programının büyüklüğünden büyük rastgele bir string i programı tarafından yazdırılırdı.

    bu ise en başta yaptığımız rastgelelik tanımına aykırı olurdu. rastgelelik tanım gereği kendi büyüklüğünden küçük bir program tarafından yazdırılamaz.

    eee? demek ki c fonksiyonu yazılamaz.

    bu sonuç gödel teoreminin* basit ve çok daha anlaşılabilir/güçlü halidir ve çok önemli bir sonuca işaret etmektedir. matematikte ispatlanamayan ancak "doğru" olan sonuçlar vardır. gödel kendi ispatında "bu teorem ispatlanamaz" ifadesini formel sistemde ifade etmeye çalışıyor ve formal sistemlerin ortaya atılmalarının nedeni olan "formel sistemler kullanılarak tamlığın gösterilebileceği" iddiasını çürütmeye çalışıyordu ancak kullandığı yol matematiğin platonik bir gerçekliğe sahip olduğu iddiasına parmak bassa da bazı insanlar için inandırıcı olamıyordu. gödel iddia ediyordu ki formel sistemde "bu teorem ispatlanamaz" iddiasının ispatlanamayacağı aslında ifadenin doğru olduğunu gösterirdi! ("bu teorem ispatlanamaz" iddiası yanlış olsaydı formal sistemde teorem ispatlanırdı çünkü!) kendi kendine gönderme yapmayan rastgelelik örneğinde ise iddia daha sağlamdır:

    bazı stringler rastgeledir ama insan aklı hangilerinin rastgele olduğunu sonlu özel durum dışında hiçbir zaman bilemez. bu matematiğin insan aklından bağımsız gerçekliği olduğunun neredeyse ispatıdır.

    (bu ispat tartışmalıdır, eğer hoşunuza gitmediyse yorumunu sallamayabilirsiniz.*)

    not: turing makineleri değiştiğinde koda eklenecek sabit ile ilgili kısımlar (ünlü translation theorem), formal aksiyomatik sistemin kodlanması, bazı programların c(n)'e girdi olarak verildiğinde durmama olasılığı ile ilgili kısımlar atlanmıştır.
  • eger platonik gerceklik matematiksel gercekligi fiziksel gerceklikten ayirt etmek icin kullanilan bir tanimsa, matematiksel kavramlarin platonik gercekligi totolojiden ibaret.
    mesele platonik gerceklik ile kastedilenin ne oldugu. kastedilen insan algisindan bagimsizlik ise, fiziksel gerceklik de boyle. farzedelim bu iki gerceklik arasindaki ne oldugu belirsiz ayrimdan vazgectik, gerceklikten tek kastimiz fiziksel varolus. o halde matematiksel kavramlarin gercekligi su anlama geliyor: matematiksel olarak var olan hersey fiziksel olarak vardir.

    evrenbilimci (ve amator felsefeci) max tegmark'in yukaridaki onermeyi savunan ve bu onermenin nasil deneysel olarak sinanabilecegi uzerine fikir yuruten ilginc bir makalesine asagidaki url'den ulasabilirsiniz. farkli yasam formlarinin neden muhtemelen ayni temel matematiksel yapilari kesfedecegine de deginilmis (bolum 2e).

    http://arxiv.org/abs/gr-qc/?9704009

    max tegmark'in sayfasi: http://www.hep.upenn.edu/~max/

    tegmark'in yazdigi bu makale hakkindaki notu:
    every time i've written ten mainstream papers, i allow myself to indulge in writing one wacky one, like my scientific american article about parallel universes. if you don't mind really crazy ideas, check out my bananas theory of everything. this includes musings on the dimensionality of space and time and on the universe containing virtually no information.

    serbest ceviri: makaleyi keyif icin yazdim siz de keyif icin okuyun..
  • (bkz: 333) * *
  • "... şimdi de elde edilen sonuçlar konusunda bazı noktalara değinmek istiyorum. birincisi, işi bitirip sonuçları hesaplayabileceğimiz matematiksel bir formül elde ettikten sonra daha ne yapabileceğimiz sorusu. gerçekten şaşılacak bir şey! belli bir durumda bir atomun nasıl davranacağını anlamak için, bir kağıt üzerine işaretler koyarak kurallar belirliyoruz, bunları çapraşık bir şekilde açılıp kapanan düğmeleri olan bir makinaya veriyoruz; sonuçta atomun ne yapacağını makina bize aktarıyor. eğer o düğmelerin açılıp kapanma yöntemleri atomun bir modeli ise, eğer atomların içlerinde de düğmeler olduğunu düşünürsek, o zaman ne olup bittiğini bir ölçüde anlamış oluyoruz. temel şeyle hiçbir ilgisi olmayan, bazı kurallardan ibaret matematik formüller kullanarak ne olacağının tahmin edilebilmesini gerçekten çok hayrete değer buluyorum. bir bilgisayardaki düğmelerin açılıp kapanması ile doğada olanlar tamamen farklıdır."

    richard feynman - fizik yasaları üzerine*
hesabın var mı? giriş yap