koşullu olasılık ^*

• kosula bagli olasilik. ornegin sigara icen bir insanin akciger kanseri olma olasiligi bir kosula bagli olasiliktir. event'lerimiz sunlar olsun:
  c:bir insanin kanser olmasi
  s:bir insanin sigara icmesi
  bu durumda p(c) bir insanin kanser olma olasiligini gosterirken, p(s) bir insanin sigara icme olasiligini gosterir.
  p(c|s) ise sigara ictigi bilinen bir insanin kanser olma olasiligidir ve p(s,c)/p(s) ile formule edilir.
• analitik dusunmeyle yeterince asina olmayan insanlara anlatamayacaginiz olasilik turu. anlamayanlara en azından problemlerin onların anladıkları gibi kolay olmadığını gösterebileceginiz en baba ornegi sudur.
  bir kral varmış. bu kralın 2 cocugu varmis. cocuklardan birinin kiz oldugunu biliyoruz. iki cocugun da kiz olma ihtimali nedir? cevap 1/2 değil, 1/4 de değil. doğru cevap 1/3 hadi bakalım.
  ikinci bir ornek:
  mehmet alinin yarismasini cogumuz bilir. 3 tane topumuz var, bunlardan birinde araba var. mehmet ali "topardan birini seçer misiniz hanfendi" dedi. toplardan birini siz öne çıkardınız. "memetali bey bir top da siz seçin" dediniz. ikincisini de mehmet ali erbil kalan toplardan sizin için öne çıkardı ve arabanın bu öne çıkan toplardan birinde olduğunu söylüyor. hangisini seçerdiniz mehmet alinin seçtiğini mi? artik iki top var. olasılıklar yarı yarıya görülüyor değil mi? yerinizde olsam mehmet alinin seçtiğini seçerdim çünkü o topta olma olasılığı 2/3 iken kendi seçtiğiniz topta olma olasılığı 1/3.
  daha iyi anlaşılabilmesi için örneği şu şekilde değiştirelim. mehmet alinin 100 topu var. birinde araba var. siz önce bir topu öne çıkardınız. kalan 99 toptan birini de mehmet ali öne çıkardı ve arabanın öne çıkan toplardan birinde olduğunu söylüyor. mehmet alininkini mi seçersiniz kendinizinkini mi? ihtimaller nedir? cevap: mehmet alininkini seçeriz, benim 100 toptan birinde doğruyu bulma ihtimalim 1/100 dür mehmet ali ise kalanlardan doğru olan topu seçeceği için 99/100'dür. aynı mantığı 3 toplu probleme de uygulayınız.
• hesaplanmasindaki zorluklar veya karisikliklar, olasilik uzayindaki olaylarin ve birbirinden ayrisik tum sonuclarin (mutually exclusive outcomes) iyi ayirt edilememesinden kaynaklanabilir.
  
  ornegin, "bir kral varmış. bu kralın 2 cocugu varmis. cocuklardan birinin kiz oldugunu biliyoruz. iki cocugun da kiz olma ihtimali nedir?" sorusu cevaplanirken cocuklarin hangi sirayla dogduklarinin atlanmamasi gereken onemli bir ayrinti oldugu ilk bakista dikkatten kacabilir. o sorunun dogru cevabi 1/3'dur. cocuklardan en az birinin kiz oldugu biliniyorsa her iki cocugun da erkek oldugu sonuc ekarte edilir. geriye esit olasilikli uc sonuc kalir, onlardan biri de her iki cocugun da kiz oldugu durumdur (state).
  
  yani baslangicta hicbir ek bilgi verilmeksizin (prior) cocuklardan en az birinin kiz olma olasiligi (3/4) yanlis hesaplanirsa kosullu olasiligin hesaplanmasinda baz hatasi yapilir. 1/2 veya 1/4 gibi bir sonuca ulasilabilir.
  
  ama soru soyle sorulsaydi: "bir kral varmış. bu kralın 2 cocugu varmis. cocuklardan ilkinin (yasca buyugunun) kiz oldugunu biliyoruz. iki cocugun da kiz olma ihtimali nedir?" o zaman dogru cevap 1/2'dir.
  
  (bkz: monty hall problemi)
  (bkz: bayes teoremi)
• bayes teoreminin temelini oluşturan konulardan olup, endüstri ve makine mühendislerinin "karar verme teknikleri" veya "karar teorisi" derslerinde canını sıkandır.
• örnek uzayı daraltma işlemidir mesela bir zar atma deneyinde örnek uzay {1,2,3,4,5,6} iken atılan atılan zarın asal olduğu bilindiğine göre dediğimizde örnek uzay {2,3,5} olur.
• orneklem uzayin ve istenen olayin eleman sayisi, kosula gore ayarlanir.
  
  ornegin,
  
  iki para havaya atiliyor. birinin tura geldigi bilindigine gore, digerinin yazi gelme olasiligi kactir?
  
  para havaya atilinca gelebilecek durumlar:
  
  yazi-yazi, yazi-tura, tura-yazi, tura-tura.
  
  simdi kosula gore, orneklem uzayin ve istenen olayin eleman sayilarini duzenleyelim.
  
  birinin tura geldigi bilindigine gore, ikisinin yazi-yazi gelme ihtimali yoktur. yazi-yazi durumunu orneklem uzaya dahil etmeyiz.
  
  bu yuzden,
  
  orneklem uzay: yazi-tura, tura-yazi, tura-tura olur.
  
  orneklem uzayin eleman sayisi 3 olur.
  
  istenen olay: yazi-tura, tura-yazi olur.
  
  havaya atilan paranin birinin tura oldugunu bildigimiz icin ve diger paranin yazi gelmesi istendigi icin tura-tura durumunu istenen olaya dahil etmeyiz.
  
  bu yuzden, istenen olayin eleman sayisi 2 olur.
  
  (kosullu) olasiligi ise istenen olay / orneklem uzaydan 2/3 olarak buluruz.
• cok kafa karistirir ama aslinda cok basit bir mantigi vardir:
  1) verilen kosulu tamamen umursamadan olasi tum durumlar ve olasiliklar yazilir. bu olasiliklar p,q,r,s,t,...,z olsun mesela. tanim geregi p+q+r+s+t+...+z=1 olacak.
  
  2)sonra kosula donulup bunlardan hangisinin gerceklesmedigi bilgisi cikarilir. diyelim ki kosul, 1. ve 3. sonucun gerceklesmedigi bilgisini iceriyor. bunlari cizip kalanlar tekrar yazilir:
  q,s,t,..... (p ve r olaylarini attik.)
  
  3)simdi tek mesele bu sayilarin toplaminin 1 etmemesi: q+s+t+....+z = a diyelim, ki a<1.
  her bir sayiyi a'ya bolup bu sorunu kaldiririz.
  bu durumda kosullu olasiliklar soyle verilir.
  
  q/a, s/a, t/a .....
  
  simdi bunu kafa karistirici bir soruya uygulayalim (bkz: #35488336):
  
  -bir kisinin 5 cocugundan 4 tanesinin erkek oldugu biliniyor; digerinin de erkek olma olasiligi nedir?
  
  1) "4 tanesinin erkek oldugu biliniyor" bilgisini unutup tum durumlari yazalim ve her birinin olasiligina bir isim verelim (her bir olasiligi hesaplamak zorunda degiliz henuz, cunku cogunu cizecegiz bir sonraki adimda.)
  5e (p), 4e 1k (q),3e 2k (r),2e 3k (s), 1e 4k (t), 5k (u)
  2) "4 tanesinin erkek oldugu biliniyor" bilgisine donup imkansiz durumlari atalim. kalanlar sunlar: 5e (p), 4e 1k(q)
  3) elde kalanlari normalize etmeliyiz ki toplam 1 etsin: bu durumda 5e olasiligi p/(p+q) ve 4e 1k olasiligi da q/(p+q)
  
  simdi p ve q'yu bulup yerine koyunca isimiz bitecek: kosula bakmadan hesaplanmasi gereken 5 e olasiligi, yani p'yi bulmak kolay: (1/2)^5.
  q ise 5*(1/2)^5 olarak hesaplanabilir. 1. cocuk kiz olabilir, ya da ikinci, ya da 3. ya da 4. ya da 5., 5 faktoru burdan geliyor-- bu cok onemli cunku "ilk dort cocugu erkek" dense idi yalnizca 5. cocugun kiz olma olasiligi kalacakti elimizde.
  
  bu durumda hepsinin erkek olma olasiligi p/(p+q)=1/6 olur. "ilk dort cocugu erkek" bilgisi olsa idi 1/2 bulacaktik sonucu.
• egitim hayatim boyu matematikte en basarisiz oldugum konudur liseden beri. murphy kanunu geregi de isimle en alakali konu malesef bu-tabiki kendi secimim degil malesef. kadere inanmam ama yemin ederim bir sey var. kac senedir istatistik uzerine kasarim, calisirim, kod yazarim, algoritma cikaririm, uygularim.. ama bu kosullu olasilik problemleri hic beklemedigim anda karsima ciktiginda, cocuk problemi gibi basit olanlar dahil, dogru cozemem ya da cevaplayamam, rezil rusva olurum.
  
  iste bu nedenledir ki cocuklari birakin istedikleri meslegi secsinler. zorlamayla olmuyor iste, bir yere kadar anca. askla calisilinmayan isten hayir beklenmez. demek ki analitik dusunemiyorum. demek ki yenetegim yokmus. ne diye dove dove soktunuz beni bu universiteye o zaman?
  
  (bkz: cilemse cekerim kaderimse gulerim)
  
  evet, aslinda minibus soforu olmaliydim. bu saatten sonra isi birakip, bodrum'a yerlesip domates mi ekicem saniyorsunuz? hahaha avucunuzu yalarsiniz. birkac saat sonra mesaiye devam. ekmek alacak para olmadan insan hayatta kalamiyor cunku. issizlik maasi diye bir olay bizde yok.
• bilgisayarlar, binary'deki hataları tespit etmek için koşullu olasılık kullanıyorlarmış.
• koşullu olasılık aslında gayet basit bir kavramdır. bir olayın gerçekleşme olasılığının hesabında ek bir bilgi kullanılması kavramıyla iç içedir. mesela şöyle düşünebiliriz;
  
  bir paranın yazı-tura oyununda 10 defa atılıp tura gelmeme olasılığından bahsediyoruz ve bunu hesaplamaya çalışıyoruz. eğer paranın ilk 5 defada yazı geldiğini bilip bunu soru için rezerve etmişsek olasılık değişir. olasılığın, bu ek kriterler göz önünde bulundurularak hesaplanmasına "koşullu olasılık" denir. bu, bana bir iktisat kitabında gördüğüm "ceteris paribus" kalıbını hatırlatmıştır. ceteris paribus, ekonomik bir olay hesaplanacakken cümlelerin sonuna koyulan bir ifadedir. latince kökenli bir kelimedir ve mânası "tüm şartlar sabit ise" olarak çevrilebilir. bu da bir koşula bağlı hesaplamayı işaret etmektedir.