• 3. kısım sonrası edit: 2. kısmı ekledikten sonra 3. kısmı yazarken çay partisi kısmına kadar gelebileceğimi düşünüp 3. kısımda zaman, sonlu sonsuzluk, dördeyler gibi manyak ufuk açıcı kavramlarla karşılaşacağımızdan bahsetmiştim ancak hikaye ilerledikçe olaylar fazlasıyla derinleştiği için ve ben bu yazıyı son birkaç gündür bir yakınıma refakatçi olarak kaldığım hastanede pek de uygun olmayan koşullarda yazmaya çalıştığım için bir miktar bitkin düştüm ve yazıyı daha fazla bölüme ayırıp az da olsa dinlene dinlene ilerletmeye karar verdim.

    3. kısımda matematiksel kanıt yöntemleri ve carroll'ın matematik alanında yayınladığı eserler hakkında birkaç bilgi olsa da maalesef bu bölümde ilk iki bölümde olduğu gibi fazlasıyla "vay arkadaş" dedirtecek bilgiler bulacağınız sözünü veremiyorum ve okuyacak olanlara "bu muydu şimdi" dememeleri için önceden durumu belirtmek istiyorum.

    4. kısım pig and pepper bölümünü inceleyip cheshire cat karakterini, soyut matematikteki nesnelerin özelliklerini ve yabancı literatürde projective geometry olarak bilinen tasarı geometri kavramlarına değineceğim.

    5. kısımda ise çay partisi bölümü gelecek ve 5. bölüm tüm yazı içerisindeki en manyak bölüm olacak. 5. bölüme kadar takip etmeseniz bile 5. bölüme gelip çay partisinin incelemesini okuduğunuzda vay anam vay neler dönmüş serhat ya tepkisi vereceğinize söz veriyorum.

    3. kısmı okuyacak olanlar için teşekkürler.

    ---
    ön not: normalde bu yazıyı bir kaç örnek vererek bitirecektim ama yazmaya başlayınca kitabın içine düştükçe düştüm. yazma aşamasında lewis carroll'ın 200 iq olduğuna ve gecemin tamamını hak ettiğine karar verdim. oturup kitabı baştan sonra tekrar okudum ve okurken şimdiye dek binlerce saat çalışarak edindiğim matematik sezgisinin neredeyse tamamını kullandım. sanırım şimdiye kadar yazdığım en detaylı ve en keyifli yazı bu oldu. olabildiğince fazla görsel eklemeye ve konu hakkında bilgisi olmayanların bile kolaylıkla anlayabileceği şekilde kavramları açıklamaya çalıştım. kitabı okumam, yazıyı yazmam, görselleri ve materyalleri eklemem, görsellerdeki çevirileri yapmam ve her şeyi kontrol etmem neredeyse 10 saat sürdü. bu yazıyı işlevsel bir el kitabı olması amacıyla eğitim sürecinde kullanılabilmesi için yazıyorum. yazı tüm kitabı kapsayacağından okunması biraz uzun sürebilir. bu sebepten yazının tamamını tek seferde paylaşmaktansa bölüm bölüm ilerleyeceğim. eğer matematiği yeni öğrenmeye başlayacak yaşlardaki çocuğunuza matematik öğretmek istiyorsanız, öğretmenseniz ve öğrencilerinizin ufkunu açmak istiyorsanız ya da matematik konseptleri hakkında bilgi edinmek isteyen meraklı biriyseniz yazıyı kesinlikle okuyun ve yazı tüm kitabı kapsayacak şekilde tamamlanana kadar başlığı takip edin. tüm kitabın analizinin bitmesi tahminen üç-dört günümü alacaktır. keyifli okumalar.

    ---

    1. kısım

    ---

    zamanında mantık, geometri ve matrisler üzerine çalışmalar yapan ingiliz matematikçi lewis carroll'ın yazdığı alice harikalar diyarında isimli kitabın aslında yazıldığı dönemlerde tartışılan matematiksel olgulara satir ve çocuklar için eğitim materyali olması amacıyla yazılmış bir kitap olması durumu.

    günümüzde okunduğunda, özellikle okuyan kişi carroll ve yaşadığı dönemin matematik tartışmaları hakkında bilgi sahibi değil ise bu durumu fark edebilmesi oldukça zordur çünkü carroll yazdığı kitaptaki her bir göndermeyi harikalar diyarı ismini verdiği ve aslında matematik diyarı olan absürt evreninde geçen olaylar üzerinden benzetmelerle yapmıştır.

    kitabı okurken birkaç yerde dikkatimi çeken bu durum "ulan yoksa?" sorusunu sordurup araştırmama sebep oldu ve bir süre araştırdıktan sonra olayın gerçekten de matematikle ilgili olduğunu öğrendim. bunun üzerine kitabı baştan sona dikkatlice okuyup her bir göndermeyi analiz ettim. yazının devamında kitaptaki olayların nasıl matematik göndermeleri olduklarını ve hangi konulara atıfta bulunduklarını anlatacağım. bu yüzden kitabı henüz okumamış olan ve okumayı düşünenler için yazının devamının çılgınlarcasına spoiler içerdiğini baştan belirteyim.

    carroll'ın aslında bir satir olarak yazdığı hikayesinin absürt bir evrende geçmesinin sebebi carroll'ın o dönemler popülerleşen uçuk kaçık matematik tartışmalarını sevmeyen ve her şeyin sağduyuya uygun göründüğü geleneksel matematik taraftarı olan bir insan olması.

    carroll döneminde matematikçiler "yeni bir sistem olsa ve bu sistemde mesela 2+2=5 yapsa" gibi düşünceler tartıştıkları için carroll harikalar diyarını bu sistemlerin geçerli olduğu bir evren olarak hayal etmiştir. yani aslında bu evren carroll'ın halisünojen madde kullanarak gördüğü hayallerden ortaya çıkmış bir evren değil, matematikçi dediğimiz tuhaf insanların günlük hayatta ayık kafayla ciddi ciddi düşünüp mantıklı bulabildikleri kuralların geçerli olduğu bir evrendir. şimdi örneklerimize gelelim.

    ---

    örneklerimizden ilki direkt kitabın girişinde alice'in kız kardeşinin okuduğu kitabı görüp "resimsiz ve içinde konuşma geçmeyen kitapların ne anlamı var ki?" diye düşünmesidir. carroll uygulanabilir matematik savunucusu olduğu için zamanının şekiller kullanılmadan yapılan ve geometrik gösterim uygulamaları içermeyen soyut matematik araştırmalarını eleştiriyor.

    carroll tam teşekküllü bir öklid ve elementler hayranı olduğu için geometrik kanıtları fazlasıyla önemli buluyor ve bununla ilgili olmayan, sırf keyif için amaçsızca cebir uygulaması yapan matematikçilerin yazılarını sevmiyor. bu sebepten kitabına direkt bu eleştiri ile başlıyor.

    daha sonra alice tavşanın peşinden koşup tavşanın atladığı deliğe atlıyor. alice bu delikten düşüyor da düşüyor, düşüyor da düşüyor, bir türlü deliğin sonuna gelemiyor. sanki delik sonsuza kadar gidiyormuş gibi hissediyor ve "aşağı, aşağı, aşağı. acaba sonu yok mu bu düşüşün?" diye düşünüyor. bu gönderme kitaptaki ilk calculus göndermesi.

    isaac newton ve wilhelm godfried leibniz isimli iki efsanevi matematikçi kitabın yazıldığı dönemden 200 yıl önce calculus isimli bir metod geliştiriyorlar. bu metod özünde limit ismi verilen bir matematiksel olgu üzerine kuruluyor. limit ise en basit tabiriyle "sonsuza kadar yakınlaştığın ancak bir türlü dokunamadığın yer" anlamına geliyor. yani diyelim ki sizin önünüzde bir soba var ve siz bu sobaya dokunmak istiyorsunuz. limit durumunda dikotomi paradoksuna benzer bir şekilde sobaya doğru her adım attığınızda sobaya biraz daha yaklaşmış oluyorsunuz ancak adımlarınız gittikçe kısalıyor ve bu sebepten sobaya asla dokunamıyorsunuz. bu durumda sizin limitiniz, yani yaklaştığınız ama dokunamadığınız şey soba oluyor.

    limit kavramının ortaya çıkmasından sonra matematikte bir devrim yaşanıyor ve birden bire ortaya onlarca yeni alan ve tartışma konusu çıkıyor. öklid dışı geometriler, sonsuzluklar gibi bir sürü tuhaf konu tartışılmaya başlanıyor. ortaya çıkan alanlardan biri de carroll'ın kitabında eleştirdiği soyut matematik. bu sebepten alice soyut matematik diyarına sonsuza dek düştüğü ancak bir türlü sonunu göremediği bir çukurdan, yani bir limit çukurundan geçiş yapıyor.

    hikayenin devamında alice düşüyor, düşüyor, düşüyor ama bir türlü bir yere varamıyor. bir noktadan sonra uykusu geliyor ve rüya görür halde kedisi hakkında düşünmeye başlıyor. uykuya dalıyor ve aniden gizemli bir biçimde kendisini harikalar diyarında buluyor.

    alice tavşanın peşinden biraz koştuktan sonra kendini kilitli kapıların olduğu gizemli bir koridorda buluyor ve geri dönebilmek için her bir kapıyı deniyor ama sonuç alamıyor. carroll burada "ah nerede o eski matematik" diye iç geçiriyor.

    bir süre sonra alice bir masanın üstünde altın bir anahtar bulup bu anahtar ile daha önce bakmadığı bir perdenin arkasına saklanmış olan ufak bir geçidin kapısını açıyor. geçitten sığamayacağını fark ediyor ve "keşke bir teleskop gibi katlanabilsem" diye düşünüyor. bunun imkansız olduğunu biliyor ancak başına gelen olaylardan sonra imkansız diye bir şey olamayacağına inanıyor. carroll bu noktada "öyle bir yere düştük ki bu yerde ne yapsak olur, imkansız diye bir şey yok" demek istiyor.

    daha sonra alice "imkansız şeyleri yapabilme kitabı" benzeri bir kitap var mı acaba diye gezinip anahtarı bulduğu masanın üzerinde "beni iç" yazan bir şişe görüyor ve zehirli olup olmadığını anlayabilmek için şişenin üstünde "bu zehirlidir" ibaresi var mı diye kontrol ediyor. şişenin üzerinde "bu zehirlidir" yazan herhangi bir ibare bulamayan alice şişedeki sıvıyı sonuna kadar içiyor ve oldukça lezzetli buluyor. sıvıyı içtikten sonra geçitten sığabilecek kadar küçülüyor. küçülmesi durduktan sonra daha fazla küçülüp küçülmeyeceğini merak ediyor ve bu küçülme olayı hakkında tedirgin olup "acaba üflenerek sönen bir mum alevi gibi sonsuza kadar küçülmek nasıl bir şeydir, üflenerek sönüp giden mum alevi neye benzer ki?" diye hayal kurmaya çalışıyor.

    bu olayda alice'in içtiği sıvı aslında bir diferansiyel sıvısı. alice bu sıvıyı içtiğinde alice'in diferansiyeli alınmış oluyor ve alice geçitten geçebileceği kadar, yani işine yarar bir boyuta gelebilecek kadar küçülüyor.

    carroll'ın hikayeyi yazdığı dönemde tartışma konusu olan olaylardan biri de diferansiyel alma olayı. diferansiyel almak, özünde bir şeyi sonsuza dek küçülterek o şeyi matematiksel hesaplarda kullanmaktır.

    diyelim ki bir eğri var ve siz bir eğrinin altında kalan alanı hesaplamak istiyorsunuz ancak bir eğrinin altında kalan alanın nasıl hesaplanacağını bilmiyoruz. bildiğimiz tek şey bir dikdörtgenin alanını hesaplamak, ki bu olay da basitçe uzun kenar ile kısa kenarı çarpmaktan ibaret.

    eğrinin altında kalan alanı nasıl hesaplayacağımızı bilmediğimiz için "ya biz tahmini bir şeyler bulalım hiç değilse" diyor ve eğrinin altına kareler çizip çizdiğimiz karelerin toplam alanını hesaplıyoruz.

    görselde görebileceğiniz üzere kareler bize aşağı yukarı bir alan hesabı veriyor ancak bu alanın eğrinin altında kalan alan ile eşit olmadığını, kaba bir tahminden ibaret olduğunu görüyoruz. bu sebepten diyoruz ki, "ya biz daha küçük genişliğe sahip daha fazla eş dikdörtgen kullanarak hesap yaparsak hata payımız azalır."

    böylelikle kullandığımız dikdörtgenlerin genişliklerini azaltıp sayılarını arttırarak hata payını düşürdükçe düşürüyoruz. ancak yine de hesapladığımız alan bir miktar hata payına sahip oluyor. en son diyoruz ki "ya bu dikdörtgenlerin genişlikleri sonsuz küçüklükte, sayıları da sonsuz büyüklükte olsun."

    dikdörtgenlerin genişliğini sonsuz küçüklüğe getirme işlemine diferansiyel alma, hepsini toplayıp eğrinin altında kalan alanı bulma işlemine de riemann toplamı deniyor.

    bu 38 saniyelik videoda bu işlemin nasıl yapıldığını gösteren animasyonu izleyebilirsiniz.

    kitabın devamında alice'in anahtarları masanın üzerinde unuttuğu ve artık küçük olduğu için anahtarlara erişememesi ve tekrar büyümek için kek yiyerek bu sefer de gereğinden fazla uzaması gibi anlamını tam çözemediğim olaylar yaşanıyor. alice bu noktada ayaklarına ulaşamayacağını, bu yüzden ayakkabılarını giyemeyeceğini, ayaklarının kendi başına karar vereceklerini ve ayaklarını kendi gitmek istediği yere gitmeleri için memnun tutması gerektiğini, tam olarak bu sebepten de ayaklarını hediyelere boğması gerektiğini düşünüyor.

    bu konu üzerine bir süre düşündüm ama üst notta bahsettiğim matematiksel sezgim bu olay için bir miktar yetersiz kaldı. en yakın tahminim alice'in yediği kekin sürekli büyüyerek ilerlediği için bir limite sahip olmayan ve dolayısıyla alice'in küçülmek için içtiği diferansiyel sıvısının tam tersi olan ıraksak seriler ile ilgili olması.

    alice nasıl küçülmek için limit kavramından gelen diferansiyel sıvısını kullandıysa, küçülme işleminin tam tersi olan büyüme işlemini yapmak için de limiti olmayan serileri kullanarak ıraksak, diğer bir deyişle diverjant keki yedi. ancak dediğim gibi bu konuda emin değilim.

    diverjant serilerin matematiksel gösterimi

    hikayenin devamında tekrar geçit için fazla büyümüş olan alice, tam umutsuzluğa kapıldığı sırada tavşanı görür. tavşandan yardım ister ama tavşan düşes kızacak diye alelacele elinde tuttuğu eldivenleri ve yelpazeyi düşürerek uzaklaşır. hikaye burada artık carroll'ın soyut matematik fikrine doğru evrilmeye başlar.

    alice durduğu yerde sıcaklar ve yelpazeyle serinlemeye çalışırken "hay allah, bugün sanki bir şeyler tuhaf. dün her şey normaldi, acaba dün gece ben mi değiştim" diye kendisini sorgular.

    " dur bakalım. sabah kalktığımda ben hala ben miydim? kalktığım zaman biraz tuhaf hissettiğimi hatırlar gibiyim. ama eğer aynı kişi değilsem, kim olabilirim ki ben? evet, bütün mesele bu. "

    burada alice kendisinde bir değişiklik olup olmadığını anlayabilmek için denklemler kurmaya başlar. önce olmayana ergi yöntemini kullanarak kim olmadığını bulmaya çalışır. bunun için de kendi yaşında olan tanıdığı herkesi düşünür.

    "ada'nın saçları bukle bukle olduğundan ve benim saçlarım öyle olmadığından ada olmadığıma eminim. aynı zamanda mabel da olamam çünkü ben her şeyi bilirim ama mabel çok az şey bilir. hem zaten ben benimdir mabel da mabel'dır"

    bu noktada alice kendisinin kim olmadığını bulmanın kendisinin kim olduğunu bulmaya pek yardımcı olmadığını fark eder ve yöntemini değiştirip direkt kanıt yöntemi ile kendisinin kendi olup olmadığını kontrol etmek, yani bir bakıma içine düştüğü durumda eğer şimdiki hali y ve önceki hali x ise y = x denkleminin doğru olup olmadığını kontrol etmek ister. bunun için de daha önceden bildiği her şeyi hala bilip bilmediğini hatırlamaya çalışır.

    " dur bir deneyelim: 4 defa 5 işlemi 12, 4 defa 6 işlemi 13, 4 defa 7 işlemi ise ... hay allah! bu şekilde 20'ye varamam. demek ki çarpım tablosuyla olacak iş değil. öyleyse coğrafyayı deneyelim. londra paris'in başkentidir, paris roma'nın başkentidir, roma ise -- ah hayır! bunların hepsi yanlış! kesin mabel'a dönüştüm..."

    bu kısımda alice'in yaptığı çarpım işlemini benden önce matematikçi martin gardner incelemiş ve şu sonuca varmış. alice 4 ile yaptığı her çarpım işleminde sonuca 1 ekliyor.

    böylelikle çarpım işlemleri:

    4x5=12
    4x6=13
    4x7=14
    4x8=15
    4x9=16

    oluyor ve alice 4x9 = 16 işlemine geldiğinde elindeki rakamlar tükeniyor. bu yüzden de "bu şekilde 20'ye varamam" diyor.

    burada anlıyoruz ki artık geleneksel matematikten çıktık ve her şeyin her şeye dönüşebileceği, alice'in mabel olabileceği, 4x5 işleminin 12'ye denk olabileceği, paris'in roma'nın başkenti olabileceği bir dünyadayız. bu absürt dünya da carroll'ın bakış açısına göre gerçek dünyayla ilişkisi olmayan ve 'keyfi' işlemler yapılan soyut matematik dünyasıdır.

    doğru düzgün hesap kitap yapamayan alice hikayenin devamında hiçbir şey bilmeyen mabel'a dönüştüğüne, geri dönerse artık onun evinde yaşamak ve onun öğrenmek zorunda olduğu şeyleri öğrenmek zorunda olacağına, bu yüzden de geri dönmek istemediğine karar verir. yine fantastik birtakım olaylar gelişir ve alice ağlar, ağladıktan sonra küçülür, küçüldükten sonra ağlarken döktüğü gözyaşlarının içine düşüp yüzer, yüzerken bir fareyle karşılaşır ve fareyle konuşmaya karar verir.

    daha önce hiç bir fareyle konuşmadığı için alice fareyle nasıl konuşması gerektiğini düşünür ve bir latince gramer kitabında gördüğü kalıbı kullanarak " eyy fare! bu havuzdan çıkmanın yolunu bilir misin? burada yüzmekten çok yoruldum, eyy fare! " der. fare cevap vermeyince alice "fransız fare herhalde bu" diye düşünüp fransızca ders kitabında yazan ve "kedim nerede?" anlamına gelen "ou est ma chatte?" sorusunu sorar. kedi lafını duyup korkan fare korkudan titreyince alice hayvanın duygularını incittiğini düşünüp "özür dilerim. kedilerden hoşlanmadığını akıl edemedim." der.

    fare en sonunda konuşur ve "sevmem ben kedi. sen ben olsan ister misin kedi?" diye sorar. alice "herhalde istemem. ama sen bizim kedimiz dinah'ı görsen kesin kedileri çok seversin. şömine kenarında oturup çok hoş bir şekilde pençelerini yalayıp yüzünü temizleyerek mırlar, ve beslemek için çok yumuşak bir şeydir, ve fare avlamak konusunda üstüne yokt--- ah özür dilerimm!" diyerek cevap verir.

    fare haliyle iyice tilt olur ve alice'i haklı olarak azarlar. alice tekrar özür dileyip bir daha kediler hakkında konuşmayacağını söyler ve bu sefer de köpeklerin fareleri öldürmesi hakkında bir şeyler anlatır.

    fare küsüp gider, alice özür diler, fare döner, " gel yüzerek karaya çıkalım da sana kedilerle köpekleri neden sevmediğimi anlatayım" der. o arada nasıl olduysa ortalık hayvanat bahçesine döner ve tüm hayvanlarla birlikte yüzerek karaya çıkarlar.

    alice bir süre hayvanlarla sohbet eder ve nasıl kuruyacakları üzerine tartışırlar. fare hayvanları kurutmak için "ingilizler fransayı işgal etmiş " tarzı fantastik bir politik haber verir ve hayvanlar politik gerginlikten dolayı titreyerek kururlar. bir süre aralarında konuşup tartıştıktan sonra hepsi çoktan titreyerek kurumuş olur ama alice hiç titremediği için kurumamıştır. alice kurumayınca hayvanlardan biri olan dodo'dan "haydi kafkas yarışı yapalım" fikri çıkar. alice pek öğrenmek istemese de "kafkas yarışı ne ki?" sorusunu sorunca da dodo " bir şeyi açıklamanın en iyi yolu o şeyi yapmaktır" cevabını verir.

    bu arkadaşlar daire gibi görünen ama carroll'ın anlatımıyla "şekli pek de önemli olmayan" bir yarış güzergahı düzenlerler ama kimse " 1-2-3 başla!" diye sayım yapmaz ve herkes canı ne zaman isterse koşmaya başlayıp, canı nasıl isterse o şekilde koşup, canı nasıl isterse o zaman koşmayı bırakır. aşağı yukarı hepsi yarım saat içinde yorulmuş olur ve alice de kurumuş olur. en sonunda dodo "yarış bitti!" diye ilan eder ve etrafında toplanırlar. hayvanlar dodo'nun etrafında toplanıp "ee ne yaptık şimdi biz? elimize ne geçti? kim kazandı?" diye sorular sorarlar. dodo uzun süre düşünür ve herkesin kazandığına, ödülü de alice'in vermesi gerektiğine karar verir. alice herkese bonibon dağıtır. fare dodo'ya dönüp "e alice'e de ödül lazım" deyince dodo alice'e "başka bir şey var mı sende?" diye sorar. alice elini cebine atıp bir yüksük bulur. yüksüğü dodo'ya verir. yüksüğü alan dodo da ödül olarak alice'e geri verir. alice her şeyi çok absürt bulur ve kahkaha atmak ister ama herkesin her şeyi aşırı ciddiyetle yaptığını fark edip kahkahasını bastırır.

    yukarıdaki olayların hepsinin carroll'ın günlük hayatta uğraştığı soyut matematikçilerin çabalarını görme biçimini aktardığını düşünüyorum. öncelikle alice fareyle konuşmaya çalışır ama alice ne söylese farenin öldüğü bir senaryo ortaya çıkar. carroll o dünyanın, yani soyut matematik evreninin yerlilerine ne anlatmaya çalışırsa çalışsın oranın yerlilerine zarar veren bir şeyler söylerken kendisini buluyor. daha sonra yerli olan fare alice'e gel sana ben kedilerle köpekleri neden sevmediğimi söyleyeyim diyerek alice'i bir sürü hayvanın içine sokuyor.

    muhtemelen bu noktada carroll'ın üstüne gittiği soyut matematikçiler ile carroll bu işin mantığı üzerine tartışıyorlar ve carroll bu insanlarla tartışırken hepsinin saçma sapan, anlamsız işler yapıp bir de üzerine alice'in temsil ettiği "soyut dünyaya düşmüş geleneksel matematik" karakterinden aldıkları malzemeleri kendilerine ödül olarak dağıtan tipler olduklarını gözlediğini aktarıyor hikayede.

    ---
    2. kısım
    ---

    alice hayvanlara bonibonlarını dağıttıktan sonra hayvanlar nasıl yiyeceklerini bilemezler. bonibonlar büyük hayvanlara küçük, küçük hayvanlara da büyük gelir ancak sorun pek olay çıkmadan çözülür. hayvanlarla birlikte karaya çıkma sebebi en başından beri farenin kedi ve köpeklerden neden hoşlanmadığını öğrenmek olan kızcağız fareye kibarca "artık anlat şu hikayeyi bir saattir oyalıyorsun" der. *

    fare alice'e "benim hikayem uzundur*" der ve iç çeker. alice farenin kuyruğuna bakıp "uzun kuyruk harbiden *" cevabını verir ama kuyruğunun nasıl üzgün olabileceğini anlayamaz. fare hikayesini anlatırken alice farenin kuyruğunu inceler. fare durumdan hoşnut olmaz ve alice'e iyice gıcık olarak ortamı terk eder. alice farenin gitmesi üzerine diğer hayvanlarla sohbet etmeye başlar. kuşlara kedisi dinah'tan bahseder. hayvanları korkutmaya yemin etmişçesine "dinah fare yakalamak konusunda bir numaradır. aynı zamanda kuşları da çok iyi yakalar. kuşları görmesiyle yemesi birdir" der yarısından çoğu kuşlardan oluşan gruba. böylelikle hayvanlar bir bir ortamı terk ederek alice'i yalnız bırakır.

    alice "keşke dinah burada olsaydı" diye oturup ağlarken ayak sesleri duyar. tavşan bir önceki sefer düşürdüğü yelpaze ve eldivenleri aramak için geri dönmüştür. " gelinciklerin gelincik olduklarından emin olduğum kadar eminim ki düşes beni idam edecek!" diye ağıt yakarken alice'i görür ve "ne duruyorsun öyle? bir koşu bana eldiven ve yelpaze kap gel!" diye alice'e bağırır. ne yapacağını bilemeyen alice düşünmeden tavşanın işaret ettiği yere doğru koşar. koştuğu doğrultuda bir ev bulur ve orada kayıp eşyaları bir süre ararken kendi halinde düşünür. sonunda küçük bir odanın içindeki bir masanın üzerinde kendinden istenen eşyaları bulur. tam çıkacakken gözüne bir şişe erişir. bu sefer şişenin üzerinde "beni iç" diyen herhangi bir yazı yoktur. alice harikalar diyarında ne zaman bir şeyler yiyip içse başına enteresan olaylar geldiği için merak eder ve gidip şişenin içindeki sıvıyı içer. göz bebekleri gibi ikide bir büyüyüp küçülen alice tekrar büyür ve odaya zar zor sığacak hale gelir.

    hikayenin bu kısmına kadar ve bu kısımdan sonra carroll biraz eğleniyor sanırım. alice bir büyüyor bir küçülüyor bir büyüyor bir küçülüyor ve dürüst olayım bu kısımlardan tırtıl kısmına kadar matematik göndermesi varsa bile ben anlamadım ya da fark edemedim. gerçi zaten carroll kitaptaki sorgulamaları ve satirleri oldukça geniş kapsamlı ve detaylı bir hikayeye ince ince yaymış ve sorularını alice'e diyaloglar ve içsel monologlarla sordurmuş. tırtıl bölümüne kadar bir şey olmadığı için oraya kadar olan kısmı çok hızlı özet geçiyorum.

    alice tavşanın evinden bir şekilde çıkıyor, ormana gidiyor, ormanda kitap boyunca alice ile tek konuşmayan hayvan olan bir köpek yavrusuyla karşılaşıyor, onunla biraz oyun oynuyor, sonra köpeği bırakıp etrafta geziniyor ve sonunda aşağı yukarı kendi boyunda olan bir mantar ve bu mantarın tepesinde oturmuş nargile içen bir tırtıl görüyor.

    bu noktadan sonra tekrar matematik başlıyor ve carroll bu bölümde direkt çevirisi "sembolik cebir" olan ancak türkçe'ye ne hikmetse sembolik matematik olarak çevrilmiş olan matematik konusu üzerine düşüyor. bu kısmı okumadan önce bölümü açıklarken daha önce ekşi'de anlattığım bilgileri kullanacağım için cebir tarihi konusunda bilginiz yoksa " matematikte bilinmeyene neden x denir" isimli şu ekşi şeyler yazımı okumanızda fayda var.

    alice ve tırtıl bir süre bakışırlar ve bakışmalarının sonunda tırtıl alice'e "sen kimsin şimdi?" tarzı kaba bir soru sorar. alice utangaç bir tavırla " kim olduğumdan ben de pek emin değilim efendim, yani hiç değilse şu an için, yani, sabah kalktığımda kim olduğumu biliyordum ama sonrasında birçok kez değişip durdum" cevabını verir. pis tırtıl hain tırtıl alice'in cevabına haşin bir tavırla "ne demek şimdi bu? hemen kendini açıkla!" şeklinde karşılık verir.

    alice başına gelenleri anlatmaya çalışır ama tırtıl oralı olmaz. tırtıla değişimin nasıl da tuhaf bir şey olduğunu açıklayabilmek için "günün birinde kelebek olursun o zaman nasıl değişimin tuhaf olduğunu anlarsın" diyerek tarif etmeye çalışır ama tırtıl alice'e değişim dünyanın en normal şeyiymiş gibi "yoooo" tepkisi verir.

    alice değiştiği için kim olduğunu bilemediği bilgisini tırtıla yükleyemediğinden tırtıl alice'e tekrar "kimsin sen?" sorusunu sorar. alice bu noktada kendini açıklamaya çalışmaktan sıkılıp "beni bırak sen kimsin asıl? önce sen kim olduğunu söyle" der tırtıla. tırtıl ise alice'in bu cevabına "neden ki?" sorusuyla karşılık verir.

    alice tırtılın "neden ki?" sorusunun üzerine "harbiden, neden ki?" diye düşünür, düşünür, ama mantıklı bir sebep bulamaz. bulamayınca da tırtılı sinir etmeye başladığını düşünüp uzaklaşmaya başlar. alice giderken tırtıl arkasından "gel buraya sana söylemem gereken bir şey var!" diye seslenir. alice geri döner ve tırtılın ne söyleyeceğini merak eder.

    bu noktada dönemin ölçü birimlerini bilmediğinden ve bir miktar da ingiliz dilinde tecrübe gerektiren bir durum olduğu için kitabı ingilizce okumuş olsa bile tırtılın söylediği şeyi anlamayabilecek olanlar oldukça fazladır.

    tırtıl alice'e " keep your temper " der. bunu ingilizce bilen herhangi biri otomatik olarak "sakin ol" ya da "sakinliğini koru, hemen kızma" şeklinde çevirecektir ancak bu cümle aslında carroll'ın yaptığı kelime oyunlarından biridir ve tamamen dönemin ölçü birimleriyle ilgili bir göndermedir.

    kitap victoria devrinde yazıldı ve bu dönemlerde temper kelimesi "belirli bir şeyin niteliğinin uygun bulunan bir oran-orantıya sahip olması, bir taraflarının diğer taraflarına göre orantısız, yani ekstrem olmaması" anlamlarını taşıyordu. yani tırtıl aslında sürekli olarak büyüyüp küçülen ve bu yüzden kim olduğunu bilmeyen alice'e "kim olduğunu bilmemenin sebebi orantısız olman. orantılı olursan kim olduğunu bilirsin. sürekli değişip durma" demeye çalışıyordu.

    bunun üzerine alice hepsi bu kadar mı diye sorar ve tırtıl ile bir süre konuşurlar. alice aynı kişi olmadığından emin olabilmek için eskiden hatırladığı ama şimdi yanlış hatırladığı şeyleri anlatır. ayrıca tırtıla ikide bir boyut değiştirdiğinden de bahseder. tırtıl alice'in hikayeyi yanlış anlatmasından dolayı alice'in olması gerektiği kişi olmadığından emin olur ve alice'e "tam olarak hangi boyda olmak istersin?" sorusunu sorar. alice "öyle belirli bir boyum olsun istemiyorum. ikide bir değişip durmasın yeter" cevabını verir. tırtıl "öyleyse şu an halinden memnun musun?" diye sorunca alice "biraz daha büyük olsam fena olmaz" der. bir süre boyunca alice'in ne kadar uzun olması gerektiği konusunda tartışırlar. tabii bu konuşmalar sırasında tırtıl nargile tüttürüp durmaktadır ve saygısız davranmaktadır. burada matematik başlar.

    tırtıl üstünde oturduğu mantardan inip alice'e "one side will make you grow taller,
    and the other side will make you grow shorter " der. bu cümle "mantarın bir tarafı seni uzun olman için büyütür, diğer tarafı ise kısa olman için büyütür" şeklinde çevrilebilir.

    "kısa olmak için büyütmek ne demek lan? kısaltmak olması gerekmiyor mu bunun?" diye soranlar olacaktır.

    tırtılın bu şekilde konuşmasının sebebi öncesinde bahsettiğimiz victoria devrinde kullanılan orantı kavramı olan temper denilen şey ile ilgili. temper'ı orantılı olma olarak düşündüğümüzde karşımıza matematikte dilation ve scale factor olarak bilinen oran-orantı kavramları çıkar. tırtılın neden" uzatmak" dediğini anlayabilmek için öncelikle hikayenin devamını görmemiz ve daha sonra scale factor kavramını açıklamamız gerekiyor.

    alice hikayenin devamında mantarın bir kısmından bir parça yer ve birdenbire çenesi yere değecek kadar boynu kısalır. daha sonra mantarın diğer kısmından yer ve boynu bu sefer de fazlasıyla uzar.

    şimdi devreye geometri giriyor.

    dilation dediğimiz şey belirli bir geometrik cismin kenarlarının birbirlerine olan oranları bozulmadan* bu cisimlerin büyümesi ya da küçülmesi olayıdır

    örnek dilation

    scale factor dediğimiz şey ise bu oranların bozulmadan cismin büyümesi ya da küçülmesi durumunda meydana çıkan değişikliktir.

    biz dilation'a "oranlar bozulmadan" büyümek ya da küçülmek demiştik. şimdi alice'i bir üçgen olarak hayal edelim ve alice'in küçüldüğü görselde yaşanan durumu bu üçgenin değişimi üzerinden değerlendirelim.

    üçgendeki değişim

    görselde de görülebileceği üzere üçgenin bir kenarının oranı büyürken üçgenin boyu kısalmıştır. yani aslında üçgen kenarları kısalırken birinin diğerine göre oranı büyüyen bir kenara sahip olduğu için orantısı değişmiştir.

    yani aslında tırtılın alice'e mantardan bahsetmeden önce "keep your temper" demesinin sebebi "mantarları öyle bir ye ki vücudunun oranı bozulmasın" demek istemesidir.

    tırtılın alice'e seni uzatır demek için "grow taller" ve "grow shorter" demesinin sebebi de aslında "bu mantarlar scale factor ile büyütmez haberin olsun" demek istemesidir.

    carroll bu kısımda yaptığı iki kelime oyunuyla beni benden almış, rüyalarıma girmiş, kendimi kaybetmeme sebep olmuştur. ancak tırtıl karakterinin kullanıldığı göndermeler burada bitmiyor. hatta henüz yeni başlıyor.

    hiç düşündünüz mü" bu tırtıl karakteri ne diye nargile içiyor? ne alaka kardeş nargile?" diye?

    olay şu.

    carroll'ın kitabı alice'e "şekilsiz kitap ne işe yarar arkadaş" dedirterek başlattığını çünkü carroll'ın geometrik gösterimler olmadan veya geleneksel matematik anlayışına aykırı biçimde yazılan makalelerden ve bu çeşit araştırmalardan hoşlanmadığından bahsetmiştim.

    geleneksel matematik dediğimiz şey geometriden doğar ve modern matematik dönemine gelene kadar matematikçilerin yaptığı her şey aslında geometrik hesaplamalar üzerinden doğar. mesela "(a+b) sayısının karesi nedir?" sorusuna genellikle harfler kullanarak, yani cebir kullanarak "a^2 + 2ab + b^2" cevabını veririz.

    ancak eskiden durum bu şekilde değildi. "(a+b) sayısının karesi nedir?" sorusu aslında "kenarları a ve b uzunluğunda olabilecek dörtgenler kullanarak oluşturabileceğimiz kare için hangi kareleri ve hangi dikdörtgenleri kullanmalıyız?" sorusudur.

    a^2 + 2ab + b^2 denklemindeki a^2 ve b^2 dediğimiz şeyler farklı büyüklüklerdeki iki kareyi, 2ab dediğimiz şey de aynı büyüklükteki iki farklı dikdörtgeni temsil eder.

    daha iyi anlaşılabilmesi için görsel

    carroll şekilli matematik seviyor derken kastım, carrol'ın matematiğin geometrik temellere dayanma zorunluluğu olduğuna taraftar olması yani aslında.

    bu sebepten de tırtıl, carroll'ın yaşadığı dönemde tam bu olarak carroll'ın geometri temelli matematik inancını yıkmak için yayınlanmış olan cebir kitaplarından birine gönderme yapmak için yaratılmış bir karakter.

    augustus de morgan isimli ingiliz matematikçi 1849 yılında bugün trigonometry and double algebra olarak bilinen bir cebir kitabı yayınlıyor ve bu kitap yukarıda linkini bıraktığım "bilinmeyene neden x deriz" yazısında geçen el-kitab'ül-muhtasar fi hısab'il cebri ve'l-mukabele isimli harezmi kitabının isminde geçen "il cebri ve'l-mukabele" kısmını ingilizce'ye hiç çevirmeden arapça cümlenin ingilizce telaffuzu olan "al jebr e al mokabala" takma ismi ile anılıyor. "al jebr e al mokabala" cümlesi ise ingilizceye "restoration and reduction", türkçeye ise "düzeltme ve indirgeme" olarak çevriliyor.

    augustus de morgan bu kitapta matematiği geometrik temellerden ayırarak cebirsel işlemleri tamamen sanal hale getirmeye çalışıyor. yani mesela bir kenar uzunluğu -3 olan hayali geometrik cisimler bu sistemde sırf cebir yoluyla mümkün olurken gerçek hayat geometrisinin temeline bağlı geleneksel matematikte böyle şeyler mümkün olmuyor.

    carroll, augustus'un fikrini "absürt soyut matematik" olarak gördüğü için absürt matematik evreni olan harikalar diyarına augustus karakterini tırtıl olarak ekliyor. tırtıl'ın nargile içmesinin sebebi, augustus'un geometri üzerine yaptığı şeyleri yayınladığı kitabının isminin direkt olarak arapça çevirisi üzerinden anılması. tırtıl da haliyle arap kültüründen bir eşya ile sembolize ediliyor.

    şimdi hikayeye dönelim.

    alice tırtıla "düzelmek" istediğini, diğer bir deyişle boyunun eski haline dönmesini istediğini, diğer bir deyişle "restore edilmek" istediğini söylüyor. "restoration and reduction" olarak çevrilen kitabın sahibini temsil eden tırtıl karakteri de alice'e düzelmesi için yapması gereken şeyi söylüyor. tırtılın verdiği formül ile iş yapan alice'in başına gelmeyen de kalmıyor.

    tırtılın saygısız biri olmasının sebebi ise karakterin temsil ettiği kişi olan augustus'un yazdığı kitap ile geleneksel matematik anlayışına hakaret etmesi. bu durumda tırtıl soyut matematik anlayışını temsil ederken, alice daha öncesinde de olduğu gibi geleneksel matematik anlayışını temsil ediyor.

    ---
    3. kısım
    ---

    alice nargileci tırtıla uyup da mantarı orantısız yiyince boynu ilk başta çok küçülüyor sonra da çok büyüyor. boynu ağaçları tepeden görüp "bu yeşil şeyler de neymiş" diyecek kadar uzayınca güvercinin biri alice'i onun yumurtalarını yemeye gelmiş olan bir yılan zannedip " ıyy yılann " diyor.

    alice güvercine yılan olmadığını söylese de güvercin alice'in yılan olmadığına kolay kolay ikna olmuyor. güvercin alice'in yılan olup olmadığını anlayabilmek için alice'e birtakım sorular soruyor.

    aralarındaki diyalog şu şekilde gerçekleşiyor:

    - peki öyleyse yılan değilsen nesin? bir şeyler uyduracakmışsın gibi görünüyor.
    - ben bir kız çocuğuyum.
    - tabii kesin öylesindir. ben birçok kız çocuğu gördüm ama böyle uzun boynu olanı ilk defa görüyorum. şimdi sen hiç yumurta yemedim de dersin.
    - tabii ki de daha önce yumurta yedim. ama bilir misin, kız çocukları da en az yılanların yediği kadar yumurta yer.
    - söylediklerine inanmıyorum. kaldı ki öyle olsa bile, o halde kız çocuklarının yılanlardan farkı ne? *

    bu noktada alice şaşırıyor ve birkaç dakika boyunca düşünüyor. carroll burada "bu alice için oldukça yeni bir konseptti" açıklaması yapıyor. daha sonra alice güvercinin söylediği şeyde aslında mantıksal bir hata bulunmamasına rağmen yılan ve kız çocuğu kavramlarının birbirinden farklı olmasının kendisi için önem arz ettiğini belirtiyor.

    carroll güvercin ve alice'in tartışmasında güvercin tümdengelim yöntemini kullanarak alice'in kafasını karıştırmaktadır. görünüşte mantıksal bir hata olmamasına rağmen alice bu mantık yürütme biçimini uygun bulmaz ve kendisi için iki farklı şeyin farklı olmalarının önemli olduğunu belirtir.

    peki güvercin nasıl tümdengelim yöntemini kullanıyor?

    1- yumurta yiyen her şey yılandır.
    2- alice yumurta yiyor.
    3- öyleyse alice bir yılan.

    aslında alice'in kendisinin bir yılan olmadığını kanıtlayabilmek için "yumurta yiyen her şey yılandır" önermesinin doğru bir önerme olmadığını kanıtlaması gerekiyor. ancak alice bunu yapamıyor çünkü güvercin alice'e "eğer ikiniz de yumurta yiyorsanız ikinize de farklı isim vermenin ne anlamı var ki?" sorusunu sorduğunda alice verecek bir cevap bulamıyor.

    yazının 1. kısmında alice'in kendisinin hala kendi olup olmadığını anlayabilmek için mantıksal bir çıkarım yaparken önce olmayana ergi yöntemini denediğini, daha sonra da direkt kanıt yöntemini denediğini ve problemin çözümüne bu şekilde vardığını görmüştük.

    alice'in hikayede geleneksel matematik anlayışını savunduğunu ve harikalar diyarındaki karakterlerin her birinin geleneksel olmayan matematik ile ortaya çıkmış bir dünyanın temsilcileri olduğunu düşünürsek, bu olayı "tümdengelim yöntemi carroll döneminde geleneksel matematikçiler tarafından pek tercih edilen bir yöntem değildi" ya da "tercih ediliyorsa da olmayana ergi ve direkt kanıt denemesinden sonra tercih edilirdi" gibi tahminler yapmak mümkün ancak isminden de belli olacağı üzerine bu çıkarımlar yalnızca tahminlerden ibaret olacaktır.

    çıkarımlarımızın doğruluğunu test edebilmek için aklıma carroll'ın hayatı boyunca matematik üzerinde yayınladığı tüm eserleri inceleyip bu eserlerde tümdengelim yöntemi kullanıp kullanmadığına bakmak geldi. bunun için carroll'ın matematik üzerine yazdığı eserleri bakıp şöyle bir liste gördüm. listenin birinci sırasındaki eser olan a syllabus of plane algebraic geometry isimli eserin pdf'ini arasam da bulamadım. bu sebepten listenin ikinci sırasındaki eser olan the fifth book of euclid treated algebraically isimli eserinin pdf'ini aradım ama allah kahretsin ki bunu da bulamadım. üçüncü sıradaki eser olan euclid and his modern rivals isimli eseri nature dergisinde buldum ama nature dergisi 1879 yılında yayınlanan bu eser için 32 dolar istediğinden onu es geçip en sonunda beleş yayınlayan bir siteye eriştim.

    ciddi ciddi oturup kitabın ilk 40 sayfasına bakındım, şöyle şeyler gördüm ve inceledim falan. sonra biraz hızlanayım diye düşünüp hızlıca göz gezdirmeye başladım ama kitap 338 sayfa ve bunda bir tümdengelim kanıtı bulamazsam aynı mantıkla devam edip diğer eserlerini de birer birer incelemek zorunda kalacaktım. bu sebepten kendime "baybars manyak mısın iki gün içinde bitmez bu iş" diyerek bu hipotezin doğruluğunu ya da yanlışlığını kanıtlama işini alıştırma olması için okuyucuya bıraktım.

    ancak bu hipotezimizi kanıtlayamasak da alice'in içine düştüğü duruma matematiksel kanıt dünyasındaki yerini matematiksel kanıt dediğimiz şeyin genelde nasıl yapıldığına kısa bir göz atıp hikayeye sonrasında devam edebiliriz.

    buradaki görsel herhangi bir konuda matematiksel kanıt yapmak istediğimizde izleyebileceğimiz bir yol haritasını gösteriyor.

    hatırlarsanız güvercin tarafından harikalar diyarında tümdengelim yoluyla alice'in yılan olduğunun kanıtlanmasının ardından alice bir süre düşünüp bu sürede bu durumun tersini kanıtlamaya çalışıyordu.

    şemada alice'in izlediği yol aşağıdaki gibidir:

    1- bu önermenin yanlış olduğuna dair iyi bir fikri olduğunu düşünür.
    2- karşıt örnek ile yanlış olduğunu kanıtlamaya çalışır ama yapamaz.
    3- yapamadığı için geri döner ve şemada geri döner.

    fark ettiyseniz şemada alice geri döndüğünde ilk denediği şey dışında deneyebileceği her şey güvercinin önerisinin doğru olduğunu kanıtlamakla ilgilidir. buradan öğreniyoruz ki matematikte bir şeyin doğru olduğunu kanıtlamaya çalıştığımızda önümüze çok fazla seçenek çıkarken, o şeyin doğru olmadığını kanıtlamak oldukça meşakkatli ve zeka isteyen bir iştir.

    hikayenin devamında alice kuşa yumurtaları çiğ yemeyi sevmediğini söyler ve kuş da alice'e "hadi yallah o zaman" diyerek ortamı terk eder.

    hikayenin devamında alice bu sefer mantarları düzgünce yiyerek normal boyutuna döner ve "oh sonunda normalim be" der. bu şekilde etrafta bir miktar gezinir ve bu sefer de normalden küçük boyutlarda bir ev görerek "ya ben şimdi bu eve böyle normal girersem ayıp olur" diyerek tekrar mantar yer ve küçülür*.

    hikayenin bu kısmından sonra orijinal ismi cheshire cat, türkçe çevirisi ise sırıtkan kedi olan karakter ile tanışacağımız pig and pepper bölümüne geçeceğiz.

    3. kısım sonu.

    ---
  • entry'nin hepsini okumamakla beraber bir alice in wonderland fanı olarak diyebileceğim kitabın kesinlikle sayısal ağırlıklı çalışan birinin elinden çıkmış olduğudur. belki bu denli sevme nedenim budur. küçük prens kadar popüler bu sebeple değildir. küçük prens süslü sözlerle doluyken alice'de biraz beyninizi yormanız gerekir.
  • gerçek dışıdır. yaptığım araştırmalara göre lewis carroll aslında bir druiddir ve alice'in hiç bitmeyecekmiş gibi düşmesi hayatın sonsuz döngüsüne bir göndermedir. alice'in odadan çıkmak için kullandığı kapıdan geçerek geri dönememesi kırmızı hapı yutunca hayatı algılayışımızın geri dönülmez şekilde değişmesi olarak matrix filminde yeniden işlenmiştir. ayrıca lewis carroll sıkı bir akp'lidir ve kupa kraliçesi (gönüllerin efendisi) ile rte'yi temsil eder.

    rabbim kimseyi bilgili görünmek için göz boyamacılık yapmak zorunda bırakmasın. lewis carroll kendi matematik felsefesi hakkında demek istediklerini 8-10 yaş arası bir kitleye hitap eden eserin içine gömmeyecek kadar şuur sahibi birisiydi.
  • carroll'un benzer bir i$i icin: (bkz: #57868967)
  • tırtılın nargile içmesinin nedeni soyut matematiği savunmasıymış. pek anlamadığım iddia.
  • bildiğim kadarıyla mantık bilimi içeren kitaptır.
hesabın var mı? giriş yap